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IME ITA

Apostila ITA

H01
Progressões
Progressões Aritméticas
São comuns, na vida real, grandezas que sofrem variações iguais em intervalos de tempo iguais.
Exemplo 1. Uma fábrica de automóveis produziu veículos em janeiro e aumenta mensalmente sua produção de 30 veículos. Quantos veículos produziu em junho?
Solução. Os valores da produção mensal, a partir de janeiro,
400, 430, 460, 490,520,550,... Em junho, a fábrica produziu 550 veículos.

são

Poderíamos ter evitado escrever a produção mês a mês, raciocinando do modo a seguir. Se a produção aumenta de 30 veículos por mês, em 5 meses ela aumenta de
5 × 30 = 150 veículos. Em junho, a fábrica produziu 400 + 150 = 550 veículos.
Progressões aritméticas são seqüências nas quais o aumento de cada termo para o seguinte é sempre o mesmo.
A seqüência ( 400, 430, 460, 490,520,550,...) é um exemplo de uma progressão aritmética. O aumento constante de cada termo para o seguinte é chamado de razão de progressão. A razão dessa progressão é igual a 30 .
Portanto, uma progressão aritmética é uma seqüência na qual a diferença entre cada termo e o termo anterior é constante. Essa diferença constante e chamada de razão da progressão e representada pela letra r .
Exemplo 2.

As seqüências ( 5,8,11,...) e ( 7,5,3,1,...) são progressões 400 aritméticas

cujas razoes valem respectivamente 3 e −2 .
Em uma progressão aritmética ( a1 , a2 , a3 ,...) , para avançar um termo basta somar a razão; para avançar dois termos, basta somar duas vezes a razão, e assim por diante.
Assim, por exemplo, a13 = a5 + 8r , pois, ao passar de a5 para a13 , avançamos 8 termos; a12 = a7 + 5r , pois avançamos 5 termos ao passar de a7 para a12 ; a4 = a17 − 13r , pois retrocedemos 13 termos ao passar de a17 para a4 e, de modo

geral an = a1 + ( n − 1) r , pois, ao passar de a1 para an , avançamos n − 1 termos.

Exemplo 3. Em uma progressão aritmética, o quinto termo vale 30 e o vigésimo termo vale 50 . Quanto vale o