Apostila Calculo 1

Cálculo I

CAPÍTULO I - Funções
Funções
Sejam A e B subconjuntos de R. Uma função f :
A → B é uma lei ou regra que a cada elemento da A faz corresponder um único elemento de B.
O conjunto A é chamado de domínio de f e é denotado por D(f). B é chamado de contradomínio ou campo de valores de f.
Escrevemos: f´: A → B, x → f(x)
Sejam A = {1,2,3,4} e B = {2,3,4,5}
i) f: A → B dada pelo diagrama abaixo é uma função de A em B.

ii) g: A →B, x → x+1, é uma função de A em B.
Podemos representar g em diagrama.

ii) O conjunto de todos os valores assumidos pela função é chamado conjunto imagem de f e é denotado por Im(f).
Contra exemplo
Exemplo: Sejam A = {1,2,3,4,5}, B = Z
(conjunto dos inteiros) e f: A → B definida pela regra que a cada elemento de A faz corresponder o seu dobro.
Então:
- a regra que define f é y = 2x;
- a imagem do elemento 1 é 2, de 2 é 4 etc;
- o domínio de f, D(f) = A;
- a imagem de f, Im(f) = {2,4,6,8,10}
Exemplo 1: Seja f: R → R, x → x².
Resp. D(f) = R e Im(f) = [0, +∞[
Determinar o domínio e a imagem das funções abaixo: 1

Exemplo 2: f(x) = 𝑥
Sejam A = {3,4,5} e B = {1,2}.
i) f: A→B dada pelo diagrama a seguir, não é uma função de A em B, pois o elemento 4 ∈ A tem dois correspondentes em B.

Esta função só não é definida para x = 0. Logo,
D(f) = R – {0} e Im(f) = R – {0}.
Exemplo 3: f(x) = √ 𝑥
Para x < 0, f (x) não está definida. Então, D(f) =
[0, +∞[ e Im(f) = [0, +∞[
Exemplo 4: f(x) = - √ 𝑥 − 1
Para f(x) = - √ 𝑥 − 1 não está definida para x < 1.
Logo D(f) = [1,∞[ e Im(f) = [0, +∞[.

ii) g: A → B, x → x – 3: não é uma função de A em B, pois o elemento 3 ∈ A não tem correspondente em B.
Podemos ver isso facilmente representando g em diagrama.

Exemplo 5: f(x) = |𝑥 |
Logo D(f) = R e Im(f) = [0,+∞[
Gráficos
Definição: Seja f uma função. O gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x,f(x)) de um plano coordenado, onde x pertence ao domínio de f.

Seja f: A → B
i) Dado x ∈ A, o elemento f(x) ∈ B é chamado o valor da função f no ponto x ou imagem