aplicação

1 – Usando o algoritmo de Euclides, determinar:
(a) mdc(306, 657)
Neste primeiro exercício usaremos o processo das divisões sucessivas para que se possa entender os valores dispostos no quadro do algoritmo de Euclides.
Pelo processo das divisões sucessivas, temos
657 = 306.2 + 45
306 = 45.6 + 36
45 = 36.1 + 9
36 = 9.4 + 0, como o resto é zero, mdc(306, 657) = 9.
Pelo algoritmo de Euclides teremos:

(d) mdc(-816, 7209) mdc(-816, 7209) = mdc(816, 7209) = 3.
(e) mdc(7469, 2387)
(f) mdc(-5376,-3402) mdc(-5376,-3402) = mdc(5376, 3402) mdc(-5376, -3402) = 6

02 – Usando o algoritmo de Euclides, determinar:
Observação: não apresentaremos os cálculos por serem semelhantes aos dos exercícios anteriores.
(a) mdc(624, 504, 90) Resposta: 6
Pelo processo anterior acha-se o mdc(624, 504) que é 24. A seguir acha-se o mdc(24, 90) que é 6.
(b) mdc(285, 675, 405) mdc(285, 675) = 5; mdc(5, 405) = 5. Resposta: 5.
(c) mdc(209, 299, 102) mdc(209, 299) = 1 e mdc(1, 102) = 1. Resposta:- 1.
(d) mdc(69, 398, 253) mdc(69, 398) = 23 e mdc(23, 253) = 23. Resposta: 23

03 – Usando o algoritmo de Euclides, achar os inteiros x e y que verifiquem cada uma das seguintes igualdades:

Observação: usaremos sentenças de mesma cor para indicar a origem dos dados substituídos.
(a) mdc(56, 72) = 56x + 72y mdc(56, 72) = 8 è resolver 8 = 56x + 72y
72 = 56.1 + 16
56 = 16.3 + 8
16 = 8.2 + 0
Tomando a penúltima igualdade;
8 = 56 – 16.3. Tirando o valor de 16 na primeira igualdade e substituindo na penúltima:
8 = 56 – (72 – 56.1).3 è 8 = 56 + 56.3 – 72.3
8 = 56.4 + 72(-3). Portanto, x = 4 e y = -3.

(b) mdc(24, 138) = 24x + 138y mdc(24, 138) = 6 è resolver 6 = 24x + 138y
138 = 24.5 + 18 24 = 18.1 + 6 18 = 6.3 + 0 (mdc = 6)
6 = 24 – 18.1
6 = 24 – (138 – 24.5).1
6 = 24 + 24.5 – 138.1
6 = 24.6 + 138(-1) è x = 6 e y = -1

(c) mdc(119, 272)
Mdc(119, 272) = 17
272 = 119.2 + 34