Analise matematica

CURSO TIPO DE AVALIAÇÃO DISCIPLINA

Contabilidade e Gestão Financeira Exame - Resolução Análise Matemática

ANO / SEMESTRE DATA DURAÇÃO DA PROVA

1º Ano / 2º Semestre 07/07/2010 2 horas

Leia cada questão com muita atenção antes de responder. Apresente todos os cálculos que efectuar.

I - Séries

1) Prove que a série

∑ (n − 3)(n + 3) n=4 +∞

+∞

1

é uma série de Mengoli. Determine a sua natureza

e caso seja possível calcule a sua soma.

Resolução: A série

∑ (n − 3)(n + 3) n=4 1

é uma série de Mengoli se o seu termo geral

coincidir com a diferença dos termos de ordem n e n+p de uma outra sucessão Vamos decompor o termo geral da seguinte forma:

(u n ) .

(n − 3)(n + 3)

1

=

A B + (n − 3) (n + 3)
1

Análise Matemática – Exame 2009/2010

para

n =3⇒ A=

1 1 = 3+3 6 1 1 =− −3−3 6

para

n = −3 ⇒ B =

1 1 1 Então, = 6 − 6 . (n − 3)(n + 3) (n − 3) (n + 3) 1 1 6 , então u 6 Se u n = n+ p = n−3 (n + p ) − 3
Pelo que,

1 1 6 = 6 ⇔ (n + p ) − 3 = n + 3 (n + p ) − 3 n + 3 ⇔ n+ p−3= n+3 ⇔ p = 6.
Trata-se portanto de uma série de Mengoli com

p = 6.

1 6 = 0 , então a série é convergente e tem como soma Como lim u n = lim n−3

S = u1 + u 2 + u 3 + u 4 + u 5 + u 6 − 6 × lim u n 1 1 1 1 1 1 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 − 6×0 4−3 5−3 6−3 7−3 8−3 9−3 1 1 1 1 1 1 = 1 + + + + +  ⋅ 6 2 3 4 5 6
2) Aplicando o critério de Cauchy, prove que a série de termos não negativos,

3   1 2 ∑ 1 + n + n 2 + n 3   n =1 

+∞

n

é divergente. Com base nesse resultado, pode afirmar que n 3   1 2 lim1 + + 2 + 3  = 0 ? Justifique convenientemente. n   n n
Resolução: Aplicando o critério de Cauchy,

Análise Matemática – Exame 2009/2010

2

3  3   1 2  1 2 lim a n = lim 1 + + 2 + 3  = lim1 + + 2 + 3  = 1+ . n  n   n n  n n n n

n

Como

lim n a n = 1+ , então pelo critério de Cauchy, podemos concluir que a série

dada é Divergente. Como a série é Divergente, então não