Análise matemática

´ ´ ANALISE MATEMATICA II
(LEEC, LEB, LEQ, LQ) Resolu¸˜o da 9a Ficha de problemas-teste ca

I.
a) Como f (x, 0) = x, para todo x ∈ R, resulta: ∂f ∂f (0, 0) = (1, 0) = 1 . ∂x ∂x Como f (0, y) = 0, para todo y ∈ R, resulta: ∂f (0, 0) = 0 , ∂y e como f (1, y) = 1 + 1 − ey , resulta 1 + y2

∂f −ey (1 + y 2 ) − 2y(1 − ey ) (1, y) = . ∂y (1 + y 2 )2 Logo, ∂f (1, 0) = −1. ∂y b) Tomemos (α, β) = (0, 0) e consideremos a semi-recta dada por (x, y) = (αt, βt), com t ≥ 0. Ent˜o, a lim f (αt, βt) = lim 1 − eαβt −2tαβeαβt αβ = lim =− 2 , t2 (α2 + β 2 ) t→0+ 2t(α2 + β 2 ) α + β2
2 2

t→0+

t→0+

onde a regra de Cauchy foi usada na pen´ltima passagem. Dado que este u limite depende de (α, β), concluimos que n˜o existe lim(x,y)→(0,0) f (x, y) e, a portanto, n˜o f n˜o ´ cont´ a a e ınua em (0, 0). Como f n˜o ´ cont´ a e ınua em (0, 0) podemos desde j´ concluir que f n˜o a a ´ diferenci´vel em (0, 0). Se (x, y) = (0, 0), em torno de (x, y) existe uma e a bola em que f coincide com a soma de x (fun¸˜o polinomial), com o quoca ciente entre a composta de u → 1 − eu com a polinomial (x, y) → xy, e a polinomial (x, y) → x2 + y 2 . Como fun¸˜es polinomiais s˜o diferenci´veis, co a a bem como a exponencial e por conseguinte 1 + eu , e quocientes entre fun¸˜es co diferenci´veis s˜o diferenci´veis nos pontos onde o denominador n˜o se ana a a a ula, concluimos que f ´ diferenci´vel em todo o ponto (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)}. e a

1

c) Como f ´ diferenci´vel no ponto (1, 0), sendo M(1,0) (f ) a matriz jacobiana e a de f no ponto (1, 0), podemos escrever, de acordo com a al´ ınea anterior, ∂f (1, 0) = M(1,0) (f ) ∂v v1 v2 = 1 −1 v1 v2 = v1 − v2 .

II.
a) Como g(x, 0) = 0, para todo x ∈ R, e g(0, y) = 0, para todo y ∈ R, tem-se ∂g ∂g (0, 0) = (0, 0) = 0 . ∂x ∂y
∂g b) Para calular ∂v (0, 0) sem sabermos se g ´ diferenci´vel no ponto (0, 0), e a temos que usar a defini¸˜o de derivada segundo o vector v. Para isso definaca se t2 sin t sin t ϕ(t) = g((0, 0) + t(1, 1)) = g(t, t) = 2 =