Analise matematica

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Engenharia de Ambiente

Apontamentos da disciplina de Complementos de Análise Matemática
Isabel Duarte Ano lectivo 2006/2007

1. Elementos de Análise Vectorial

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1.1. Campos vectoriais Vamos estudar funções que a cada ponto P do plano ou do espaço associa um vector. Estas funções chamam-se campos vectoriais. As suas principais aplicações envolvem campos de velocidades, tais como correntes marítimas e velocidades do vento, e campos de forças, como por exemplo o campo de forças gravitacional. De entre os campos vectoriais, uns dos mais importantes são os conservativos, isto é, aqueles em que há conservação de energia (a soma da energia cinética com a energia potencial é constante), como é o caso do campo gravitacional e do campo magnético. Os campos gravitacionais são definidos através da lei gravitacional de Newton
F ( x, y, z ) = − Gm1m2 x2 + y2 + z2 u,

sendo G a constante de gravidade, m1 e m2 as massas das partículas localizadas em (x,y,z) e (0,0,0) e u o vector unitário que vai desde (0,0,0) a (x,y,z). Os campos de forças eléctricas são definidos através da lei de Coulomb
F ( x, y, z ) = cq1q2 r
2

u,

sendo q1 e q2 as cargas eléctricas das partículas localizadas em (x,y,z) e (0,0,0), u o vector unitário que vai desde (0,0,0) a (x,y,z) e c uma constante. Estes dois campos são definidos do mesmo modo, F ( x, y, z ) = k r
2

u=

k r
2

r k = r. 3 r r

Todos os campos assim definidos chamam-se campos quadrado inverso. Na figura seguinte está representado um campo vectorial de uma roda a girar em torno de um eixo.

1. Elementos de Análise Vectorial

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Definição: Sejam M e N funções de x e y definidas numa região R do plano. A função dada por F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j chama-se campo vectorial sobre R. Sejam M, N e P funções de x, y e z definidas numa região Q do espaço. A função dada por F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k chama-se campo vectorial sobre Q.