ALUNO

1- Uma secção feita numa esfera por um plano alfa é um círculo de perímetro 2 π cm. A distância do centro da esfera ao plano alfa é 2 raiz de 2 cm. Calcule a medida r do raio da esfera.

Resposta: se o comprimento (ou perímetro do circulo) é igual a 2 . π, então: raio( r ) 2 . π . r = 2 . π r = 1cm
Calculamos o raio da secção. Agora para calcular o raio ( R ) da esfera, devemos usar o teorema de Pitágoras relacionando o raio da secção, raio da esfera e a distância entre o centro da esfera e o plano alfa que secciona a esfera.
R² = 1² + (2 . raiz de 2)²
R² = 1 + 4 . 2
R² = 9
R = 3 cm

22- Um plano alfa secciona uma esfera de raio 20cm. A distância do centro da esfera ao plano alfa é 12cm. Calcule a área da secção obtida.

Resposta: igualmente ao exercício acima, devemos aplicar a fórmula de Pitágoras:
20² = 12² + r² r² + 144 = 400 r² = 256 r = 16 cm
O exercício pede a área da secção, que é um circulo. Logo temos:
16² . π = 256 . π cm²

3- Dois cubos de metal, de aresta π* cm e 2π cm, fundem-se para formar uma esfera. Qual o comprimento do raio dessa esfera?

Resposta: O volume dessa nova esfera será igual a soma dos volumes dos cubos:
Cubo 1 = Volume1 = π³
Cubo 2 = Volume2 = (2π)³ = 8π³
V1 + V2 = π³ + 8π³ => 9π³ é dado por: 4πR³/3 , aonde R = raio.
9π³ = 4πR³/3
27π³/4π = R³
R = ³V(27π²/4)
44- O volume de uma esfera A é 1/8 do volume de uma esfera B. Se o raio da esfera B mede 10, então quanto mede o raio da esfera A?

Resposta:

Va = Vb/8
4πR³/3 = 4π(10)³/3(8)
4πR³ = 4π(10)³/8
R³ = 10³/2³
R = 10/2

R = 5

55- Um cilindro eqüilátero de volume V encontra- se cheio de água, quando uma esfera, cujo o raio coincide com o raio da base do cilindro, é mergulhada completamente no cilindro fazendo transbordar certa quantidade de água. Qual o volume de água restante no cilindro em função de V?

Resposta: é o volume que o cilindro tem menos o da esfera:
Volume restante: r²π2r - 4πr³/3
Volume restante: (6πr³ - 4πr³)/3