Algebra

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
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CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMATICA – AREA 2
Primeiro Semestre de 2006
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GABARITO DO PRIMEIRO EXERC´
ICIO ESCOLAR DE ALGEBRA LINEAR

PROVA TIPO 1
1a Quest˜o: (2,0 pts) Determine os valores de k para os quais o sistema abaixo admite uma unica a ´ solu¸˜o. Em seguida, resolva o sistema usando um destes valores de k . ca 
 x+y+z =2 x + 2y + z = 3

x + y + kz = 2
Solu¸˜o: Efetuando opera¸˜es elementares sobre as linhas da matriz ampliada  sistema, ca do


 co
1112
10
1
1
0
1 .
A =  1 2 1 3  vemos que esta ´ linha equivalente ` matriz B =  0 1 e a
11k2
0 0 k−1 0
Portanto, o posto da matriz ampliada ´ igual ao posto da matriz dos coeficientes, independene temente de k . Conseq¨entemente, o sistema em estudo possui solu¸˜o qualquer que seja o valor u ca do parˆmetro k . Por outro lado, observando a matriz B concluimos que o grau de liberdade a do sistema ´ zero se, e somente se, k − 1 = 0. Conclus˜o: o sistema possui solu¸˜o unica se, e e a

 ca ´
1001
somente se, k = 1. Neste caso, B , logo A, ´ linha equivalente `  0 1 0 1 , e a solu¸ao do e a c˜ 0010 sistema, ´ x = 1, y = 1, z = 0, qualquer que seja k = 1. e 2a Quest˜o: Considere o subespa¸o W , do R4 , gerado pelos vetores: a c v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (0, −1, −1, 1) e v3 = (2, 1, 1, 3).
a) (0,5 pts) Estes vetores s˜o linearmente independentes? Porque? a b) (0,5 pts) Quais deles podem ser descartados de modo que os restantes formem uma base de
W ? Porque?
c) (0,5 pts) Qual ´ a dimens˜o de W ? Porque? e a
d) (0,5 pts) (1, 0, 0, 2) ∈ W ? Porque?
Solu¸˜o: Suponha ca 
 x1

 x1 − x2
 x1 − x2

x + x
1
2

que x1 v1 + x2 v2 + x3 v3 = 0. Esta equa¸˜o vetorial equivale ao sistema ca 
=0
+ 2 x3 = 0
 x1
=0
x1 − x2 + x3 = 0 ,
, o qual ´ equivalente ao sistema e =0

x1 + x2 + 3 x3 = 0
=0




1 0 20
1020
cuja matriz ampliada ´  1 −1 1 0 , que, por sua vez, ´ linha