Algebra

MATRIZES
Matriz quadrada
⎡3 6⎤
⎢5 1 ⎥ matriz quadrada de ordem 2.
⎣
⎦ diagonal principal

⎡5
⎢7
⎢
⎢3
⎣

6
4
-1

9⎤
10⎥ matriz quadrada de ordem 3.
⎥
2⎥
⎦

diagonal principal diagonal secundária

Matriz linha e matriz coluna

[2

-6

9

5] matriz linha 1 x 4 (1 linha e 4 colunas).

⎡5 ⎤
⎢21⎥ matriz coluna 3 x 1 (3 linhas e 1 coluna).
⎢ ⎥
⎢3 ⎥
⎣ ⎦

Matriz diagonal
⎡1
⎢0
⎢
⎢0
⎣

0
8
0

0⎤
0⎥
⎥
- 4⎥
⎦

Matriz identidade

⎡5
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎣0

0
-1
0
0

0
0
3
0

0⎤
0⎥
⎥
0⎥
⎥
6⎦

⎡ 12
⎢0
⎣

0⎤
5⎥
⎦

0⎤
1
0⎥
⎥
0
1⎥
⎦
⎧
⎪a ij = 1, para i = j
Em uma matriz identidade, temos ⎨
⎪a ij = 0, para i ≠ j
⎩

⎡1
⎢0
⎣

⎡1
⎢0
⎢
⎢0
⎣

0⎤
1⎥
⎦

0

Matriz nula
⎛0
⎜
⎜0
⎜0
⎝

0
0
0

0⎞
⎟
0⎟
0⎟
⎠

⎡0
⎢0
⎣

⎛0
⎜
⎜0
⎜0
⎝

0⎤
0⎥
⎦

0⎞
⎟
0⎟
0⎟
⎠

Matriz transposta

⎡12
A = ⎢- 5
⎢
⎢6
⎣

1
0
2

4⎤
2 ⎥
5
⎥
3⎥
⎦

⎡12
A = ⎢1
⎢
⎢4
⎣
t

-5
0
2

5

Adição de matrizes
⎛3
⎜
Sejam as matrizes A = ⎜ 8
⎜2
⎝

-2
14
1

5⎞
⎛4
⎟
⎜
7 ⎟ e B = ⎜6
⎜ 20
11⎟
⎠
⎝

8
0
7

9⎞
⎟
2 ⎟.
12 ⎟
⎠

A soma das matrizes A e B é feita da seguinte maneira:

6⎤
2⎥
⎥
3⎥
⎦

⎛3
⎜
A + B = ⎜8
⎜2
⎝

⎛7
⎜
A + B = ⎜14
⎜ 22
⎝

-2
14
1

6
14
8

5 ⎞ ⎛4
⎟ ⎜
7 ⎟ + ⎜6
11⎟ ⎜ 20
⎠ ⎝

8
0
7

9 ⎞ ⎛3 + 4
⎟ ⎜
2 ⎟ = ⎜8 + 6
12 ⎟ ⎜ 2 + 20
⎠ ⎝

-2+8
14 + 0
1+ 7

14 ⎞
⎟
9 ⎟.
23 ⎟
⎠

Propriedades da adição:
•
•
•
•
•

comutativa: A + B = B + A associativa: (A + B) + C = A + (B + C) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A elemento oposto: A + (- A) = (- A) + A = 0 cancelamento: A = B ⇔ A + C = B + C

Multiplicação de número real por matriz
Dada a matriz

⎡7
A=⎢
⎣4

2⎤
,
- 5⎥
⎦

⎡14
2A = ⎢
⎣8

4⎤
.
- 10⎥
⎦

Propriedades da multiplicação de número real por matriz:
•
•
•

α.(A + B) = αA + αB α(β . A) = αβ.A
(α + β)A = α.A + β.B

5+9 ⎞
⎟
7 + 2 ⎟, assim