Algebra

Universidade Federal de Goi´s a Instituto de Matem´tica e Estat´ a ıstica ´ Algebra Linear-Matem´tica a
Lista de Exerc´ ıcios 1. Decida quais dos conjuntos de vetores α = (a1 , a2 , . . . , an ) s˜o subespa¸os a c vetoriais de Rn , n ≥ 3 com α satisfazendo a) a1 > 0; b) a1 + 3a2 = a3; c) a2 = a2 ; 1 d) a1 a2 = 0; e) a2 ∈ Q, onde Q ´ o conjunto dos n´meros racionais. e u 2. Seja V o espa¸o vetorial (sobre (R)) das fun¸˜es f : R → R. Quais dos c co subconjuntos abaixo s˜o subespa¸os vetoriais de V ? a c a) A = {f ∈ V ; f (x2 ) = f 2 (x), ∀x ∈ R}; b) B = {f ∈ V ; f (0) = f (1)}; c) A = {f ∈ V ; f (3) = 1 + f (−5)}; d) A = {f ∈ V ; f (−1) = 0}; e) A = {f ∈ V ; f ´ continua}. e 3. Seja W o conjunto dos vetores (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) ∈ R5 os quais satisfazem
4 2x1 − x2 + 3 x3 − x4 = 0 2 x1 + 3 x3 − x5 = 0 9x1 − 3x2 + 6x3 − 3x4 − 3x5 = 0

Determine um conjunto finito de vetores que gera W . 4. Seja V o espa¸o vetorial de todas as fun¸˜es de R em R; Sejam Vp e Vi os c co subconjuntos das fun¸˜es pares e ´ co ımpares respectivamente. a) Prove que Vp e Vi s˜o subespa¸os de V ; a c b) Prove que Vp + Vi = V ; c) Prove que Vp Vi = {0}.

5. Prove que, se dois vetores s˜o linearmente dependentes ent˜o, um ´ um a a e m´ltiplo escalar do outro. u 6. Os vetores α1 = (1, 1, 2, 4) α2 = (2, −1, −5, 2) 1

α3 = (1, −1, −4, 0) α4 = (2, 1, 1, 6) s˜o linearmente independentes em R4 ? a 7. Mostre que os vetores α1 = (1, 0, −1) α2 = (1, 2, 1) α3 = (0, −3, 2) formam uma base de R3 . Expresse cada vetor da base canˆnica como o combina¸˜o linear de α1 , α2 , α3 . ca 8. Seja V um espa¸o vetorial sobre R. Suponha que existam finitos vetores c u1 , u2 , · · · , ur em V que geram V . Prove que V tem dimens˜o finita. a

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