Algebra Linear

NOTAS DE AULA
´
Algebra Linear

e
[1], [2] e [3]. O primeiro cap´ ıtulo destas notas aborda Sistema lineares no plano. No segundo cap´ ıtulo estudaremos opera¸˜es com matrizes e suas propriedades. O cap´ co ıtulo 3 relaciona matrizes com sistemas lineares.

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Sum´rio a 1 Sistema Lineares
1.1 Sistema Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Sistemas Escalonados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Resolu¸˜o de um sistema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 3
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2 Matrizes
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2.1 Opera¸˜es com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 co 2.2 Matrizes Invers´ ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Determina¸˜o da Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 ca 3 Sistemas de Cramer

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4 Determinante e Matriz Inversa

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2

1

Sistema Lineares

Neste cap´ ıtulo trataremos do estudo de sistemas lineares sobre R
Defini¸˜o 1.1 (Equa¸˜o linear) Dados os n´meros reais α1 , . . . , αn , β (n ≥ 1) chamamos ca ca u de equa¸˜o linear sobre R nas inc´gnitas x1 , . . . , xn a equa¸˜o ca o ca α1 x1 + · · · + αn xn = β,

(1)

onde os xi s˜o vari´veis em R. a a
Uma solu¸˜o da equa¸˜o 1 ´ uma sequˆncia de n´meros reais (n˜o necessariamente distintos ca ca e e u a entre si) indicados por (b1 , . . . , bn ) que satisfaz a equa¸˜o 1, ou seja ca α1 b1 + · · · + αn bn = β.

(2)

Exemplo 1.1 Dada a equa¸˜o linear 2x1 − x2 + x3 = 1, a terna ordenada (1, 1, 0) ´ solu¸˜o ca e ca dessa equa¸˜o pois ca 2·1−1+0=1

(3)

Defini¸˜o 1.2 (Sistema linear) Um sistema de m equa¸˜es lineares com n inc´gnitas (m, n ≥ ca co o 1) ´ um conjunto de m equa¸˜es lineares, cada uma delas com n inc´gnitas, consideradas sie co o multaneamente. Um sistema se apresenta do seguinte modo:

 α11 x1 + α12 x2