Algebra linear

Universidade Aberta do Brasil
Universidade Federal do Ceará
Instituto UFC Virtual

Curso: Licenciatura em Matemática
Disciplina: Álgebra Linear e Geometria Analítica II
Tutor (a): Kiara Lima
Aluno: Francisco Melo de Oliveira
Polo: Quiterianópolis

Aula 05
01) Seja W = {(x, y, z) R3 / x + y + z = 0}. Encontre uma base para W e uma base de W. Descreva os elementos de W.
Resolução:
Como x+y+z=0, temos que z=-x-y, logo, v=xy-x-y=x0-x+0y-y=x10-1+y01-1 Então, uma base para W é u1=10-1,u2= 01-1.
Para w=(x, y, z) pertencer a W⊥, ele deve ser ortogonal a u1 e u2 simultaneamente, logo, w, u1=0 xyz.10-1=0 →x-z=0 w, u2=0 xyz.01-1=0 →y-z=0, daí x-z=0y-z=0 → x=zy=z, então, w=zzz → w=z111
Portanto, 111 é base para W⊥, e
W⊥=z111| z∈R é uma reta no espaço R3.

03) Seja u = (a, b, c) R3 um vetor unitário, com abc 0. Determine t de modo que v = (–bt, at, 0) e W = (act, bct, ) são tais que u,v=0=u,w=v,w.
Resolução:
Se u é um vetor unitário temos: u=1 → a2+b2+c2=1 → a2+b2+c2=1 → a²+b²=1-c² (i)
Fazendo o produto interno entre u,v, u,w e v,w, u,v=a, b, c.-bt, at, 0=-abt+abt+0=0 u,w=a, b, c.act, bct, -1t=a2ct+b2ct-ct v,w=-bt, at, 0.act, bct, -1t=-abct2+abct2+0=0
De u,v=0=u,w=v,w, temos
-abt+abt=a2ct+b2ct-ct=-abct2+abct2=0
a2ct+b2ct-ct=0 cta2+b2-ct=0, de itemos que a2+b2=1-c2, logo, substituindo temos ct1-c2-ct=0 ct-c3t-ct=0 ct2-c3t2-ct=0 t2c-c3=c t2=cc-c3 t=11-c2

05) Num espaço vetorial real V com produto interno, o cosseno do ângulo entre dois vetores não-nulos u e v é definido como cos(u, v) = . Prove se u e v são ortogonais e não-nulos, então cos2(u, u – v) + cos2(v, u – v) = 1.
Resolução:
cos2u, u-v=u, u-vuu-v2 cos2v, u-v=v, u-vvu-v2
Assim,
u, u-vuu-v2+v, u-vvu-v2=1
=u,u-u,vuu-v2+v, u-v,vvu-v2, como u e v são ortogonais,u,v=0,
=u,uuu-v2+-v,vvu-v2
=u2uu-v2+-v2vu-v2
=uu-v2+-vu-v2
=u2u-v2+v2u-v2, desenvolvendo os denominadores, temos
=u2u2+v2+v2u2+v2
u2+v2u2+v2=1 c.q.d.

07) Seja v = e W