Algebra Linear

´
1a Prova de Algebra Linear — Turmas B e D — 13/09/2013
Prof. Lu´ Fernando Crocco Afonso ıs Gabarito

1. Verdadeiro ou Falso. Justifique sua resposta.
(a) (10 pontos) W = {(x, y, z) ∈ R3 ; xy = 1} ´ um subesba¸o vetorial de R3 . e c
Uma solu¸˜o: ca Falso. (0, 0, 0) ∈ W.
/
(b) Sejam v1 , v2 , v3 , v4 ∈ R3 distintos e sejam V = [v1 , v2 ], W = [v3 , v4 ]. Ent˜o, n˜o se pode a a ter R3 = V ⊕ W.
Uma solu¸˜o: ca Falso. Fazendo v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0), v3 = (0, 0, 1) e v4 = (0, 0, 0) obtemos V =
{(x, y, 0) ; x, y ∈ R}, W = {(0, 0, z) ; z ∈ R} e R3 = V ⊕ W.
2. (20 pontos)Escreva v = (2, 7, −1, 4) como combina¸˜o linear dos vetores v1 = (1, 2, 1, 2), v2 = ca (1, 1, 2, 2) e v3 = (1, 3, 0, 2).
Uma solu¸˜o: ca Queremos encontrar

 x +


2x +
 x +


2x +

x, y, z tais que v = xv1 + yv2 + zv3 . Isto nos leva ao sistema linear y + z =
2
y + 3z =
7
2y
= −1
+ 2z =
4

cuja solu¸ao ´ c˜ e


 x = 5 − 2z y = z−3 .

z ∈ R

Logo, v = (5 − 2z)v1 + (z − 3)v2 + zv3 , qualquer que seja z real. Por exemplo, v = 5v1 − 3v2 .
3. Considere P o espa¸o dos polinˆmios em t. Determine se os vetores p(t) = (1−t)2 , q(t) = (1+t)2 c o e r(t) = 1 − t s˜o LI ou LD. a Uma solu¸˜o: ca A equa¸˜o vetorial x(1 − t)2 + y(1 + t)2 + z(1 − t) = 0 ´ equivalente a (x + y)t2 + (2y − z − ca e
2x)t + (x + y + z) = 0. Esta ultima equa¸˜o ´ equivalente ao sistema linear
´
ca e

x + y
= 0

−2x + 2y − z = 0

x + y + z = 0 que possui solu¸ao unica x = y = z = 0. Logo, os vetores acima s˜o LI. c˜ ´ a 4. Seja B = {v1 = (1, 1, −1, 1, 2), v2 = (1, 2, 1, 2, 1), v3 = (1, 1, 0, 1, −1)}. Complete B at´ obter e uma base de R5 .
Uma solu¸˜o: ca Primeiramente, vejamos o subesba¸o gerado v1 , v2 , v3 . c somente se, o sistema linear

 x + y + z


 x + 2y + z

−x + y

 x + 2y + z



2x + y − z

Temos (a, b, c, d) = xv1 + yv2 + zv3 se, e
=
=
=
=
=

a b c d e

possui solu¸˜o. Este sistema ´