Algebra linear

Instituto Superior de Engenharia de Coimbra
´
Algebra Linear – Exerc´ ıcios de revis˜o sobre os cap´ a ıtulos III e IV
(Engenharia Inform´tica e Curso Europeu de Inform´tica) a a
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1. (a) Determine o valor real de a de modo que os vectores u = (a, 2, a) e v = (4, −3, 0) sejam perpendiculares. (b) Escreva a equa¸˜o da recta que cont´m o ponto (1, 1, 1) e ´ perpendicular ao plano de equa¸˜o ca e e ca x − 2z = 1. ca e
(c) Determine a equa¸˜o do plano que passa na origem e ´ paralelo aos vectores u = (4, −2, 3) e v = (−2, 0, 1).
(d) Determine e represente geometricamente a imagem do triˆngulo T de v´rtices (1, 1), (2, 1), (1, 3) a e pela transforma¸˜o linear f : IR2 −→ IR2 definida por f (v) = Av, onde ca [
]
π cos θ − sin θ
A=
, θ= . sin θ cos θ
2
Que efeito tem esta transforma¸˜o sobre o triˆngulo? ca a
(e) Averigue se transforma¸˜o ca T : IR2 −→ IR3 ,

T (x, y) = (0, x − y, 2x + y)

´ linear. e 2. No espa¸o vectorial IR3 considere os vectores u = (1, 0, 1), v = (1, 2, 0) e w = (2, 2, 1). c (a) Averigue se conjunto {u, v, w} forma uma base de IR3 . ca c
(b) Determine uma condi¸˜o que caracterize o subespa¸o vectorial ⟨u, v, w⟩.
(c) Averigue se (0, 8, −4) ∈ ⟨u, v⟩.
(d) Relacione ⟨u, v⟩ com ⟨u, v, w⟩.
3. Seja S = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ IR4 : x4 = x1 + x3 }.
(a) Mostre que S ´ um subespa¸o de IR4 . e c
(b) Determine o valor de a de modo que o vector u = (1, 3, a, −2) perten¸a a S. c (c) Determine uma base e a dimens˜o de S. a 

3
4. Considere a matriz real A =  0
1

1
2
1


0
0 .
2

(a) Determine os valores pr´prios de A. o (b) Determine os subespa¸os pr´prios de A. c o
(c) Justifique que A ´ diagonaliz´vel e indique uma matriz P e uma matriz D tais que A = P DP −1 . e a


−4 0 −2
0 .
5. Considere a matriz A =  0 1
5 1
3
(a) Calcule os valores pr´prios de A. o (b) Usando os valores pr´prios de A, calcule det(A) e diga se A ´