Algebra Linear

´
Algebra Linear

Edezio 1

´
Lista 5 de Algebra Linear - Prof. Ed´zio e 1. Encontre o subespa¸o vetorial de M2 (R) gerado por: c 0 1
0 0

S=

,

0 0
−1 0

2. Verifique que em P2 , o polinˆmio p(x) = 1 + x2 ´ uma combina¸ao dos polinˆmios q1 (x) = 1, o e c˜ o q2 (x) = 1 + x e q3 (x) = 1 + x + x2 .
3. Sejam U = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; x − y + t + z = 0} e V = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; x + y − t + z = 0}.
Encontre um conjunto de geradores para cada um dos subespa¸os vetoriais: U, V. c 4. Quais dos seguintes s˜o combina¸ao linear de u = (0, −2, 2) e v = (1, 3, −1)? a c˜
(a) (2, 2, 2) (b) (3, 1, 5) (c) (0, 4, 5) (d) (0, 0, 0)
5. Expresse os seguintes vetores como combina¸ao linear de u = (2, 1, 4), v = (1, −1, 3) e w = (3, 2, 5). c˜ (a) (−9, −7, −15) (b) (6, 11, 6) (c) (0, 0, 0) (d) (7, 8, 9)
6. Encontre uma equa¸ao para o plano gerado pelos vetores v = (−1, 1, 1) e v = (3, 4, 4). c˜ 7. Quais dos seguintes conjuntos de vectores em R3 s˜o linearmente dependentes? Nesses casos e a em cada conjunto escreva um dos vectores como combina¸ao linear dos restantes. c˜ (i) {(4, 2, 1), (2, 6, −5), (1, −2, 3)}.
(ii) {(1, 2, −1), (3, 2, 5)}.
(iii) {(1, 2, 3), (1, 1, 1), (1, 0, 1)}.
(iv) {(1, 0, −1), (0, 0, 0), (0, 1, 1)}.
(v) {(1, 1, 0), (0, 2, 3), (1, 2, 3), (3, 6, 6)}.
8. Diga quais dos seguintes conjuntos de vectores s˜o bases de R2 . a (i) {(1, 3), (1, −1)}.
(ii) {(0, 0), (1, 2)}.
(iii) {(−5, 0), (0, 2)}.
(iv) {(1, 2), (2, −3), (3, 2)}.
9. Mostre que as matrizes
1 0
0 0

,

0 1
0 0

formam uma base para o espa¸o M2 (R). c Respostas:
1. S =

0 a b 0

/a, b ∈ R

2. p(x) = 1 · q1 (x) + (−1) · q2 (x) + 1 · q3 (x)

,

0 0
1 0

,

0 0
0 1

´
Algebra Linear

Edezio 2

3. U = [(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1)] e V = [(1, 0, 1, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)]
4. (a) (2, 2, 2) = 2 · (0, −2, 2) + 2 · (1, 3, −1), (b) (3, 1, 5) = 4 · (0, −2, 2) + 3 · (1, 3, −1),
(c) (0, 0, 0) = 0 · (0, −2, 2) + 0 ·