Adição de Arcos

Adição de arcos

Ao somarmos dois ângulos e calcularmos uma função trigonométrica deles percebemos que não obteremos o mesmo resultamos se antes de somarmos esses ângulos aplicarmos a propriedade da adição em alguns casos, ou seja, nem sempre podemos aplicar a seguinte propriedade cos (x + y) = cos x + cos y. Veja alguns exemplos:

Exemplo 1:

cos (π + π) = cos (2π + π) = cos (3π) = cos 270º = 0 2 2 2

cos (π + π) = cos π + cos π = cos 180° + cos 90º = -1 . 0 = 0 2 2

Nesse exemplo foi possível obter o mesmo resultado, mas veja o exemplo abaixo:

Exemplo 2:

cos (π + π) = cos (2π) = cos 270º = 0 3 3 3

cos (π + π) = cos π + cos π = cos 60º + cos 60º = 1 + 1 = 1 3 3 3 3

Verificamos que a igualdade cos (x + y) = cos x + cos y não é verdadeira para qualquer valor que x e y assumir, por isso que concluímos que as igualdades:

sen(x + y) = sen x + sen y sen (x – y) = sen x -sen y cos (x + y) = cos x + cos y cos(x - y) = cos x + cos y tg(x + y) = tg x + tg y tg(x - y) = tg x + tg y

São igualdades que não são verdadeiras para qualquer valor que x e y assumirem, assim veja as verdadeiras igualdades para o cálculo da adição ou diferença de arcos do seno, cosseno e tangente.

• sen(x + y) = sen x . cos y + sen y . cos x

• sen(x - y) = sen x . cos y – sen y . cos x

• cos (x + y) = cos x . cos y – sen x . sen y

• cos (x – y) = cos x . cos y + sen x . sen y

• tg (x + y) = tg x + tg y 1 – tg x . tg y

• tg (x - y) = tg x - tg y 1 + tg x . tg y

Funções trigonométricas do arco duplo
Considere um arco da circunferência trigonométrica que mede 45°, o seu arco duplo é um arco de 90°, mas isso não significa que o valor das funções trigonométricas (seno, cosseno e tangente) do arco duplo seja o dobro das