2 Trabalho De Lgebra Linear Parte 2 1

2º Trabalho de Álgebra Linear - parte II
1. Seja T: R4 → R4 a transformação linear definida por
T(x,y,s,t) = (x – y + s + t, x + 2x – t, x + y + 3s – 3t)
a) Determine a imagem de T e determine uma base da imagem.
b) Determine o núcleo de T.
2. Dada a aplicação T: R3 → R2 definida por F(x,y,z) = (yz, x2), determine:
a) F(2,3,4)
b) F(5, -2, 7)
3. Seja T: R3 → R2 uma transformação linear definida por T(1, 1, 1) = (1, 2),
T(1, 1, 0) = (2, 3) e T(1, 0, 0) = (3, 4). Determinar:
a) T(x, y, z).
b) v  R3 tal que T(v) = ( -3, -2).
c) o núcleo de T.
d) a imagem de T.
Resp: T(x, y, z) = 3x – y – z, 4x – y – z), v = (1, 6-z, z)
4. Seja T o operador linear no R3 tal que T(1, 0, 0) = (0, 2, 0), T(0, 1, 0) = (0, 0, -2) e T(0, 0, 1) = (-1, 0, 3). Determinar T(x, y, z) e o vetor v  R3 tal que T(v) = (5,
4, -3). Resp: T(v) = (-z, 2x, -2y + 3z) e v = (2, -3, -5)
5. Seja T: R2 → R3 uma transformação linear definida por T(-1, 1) = (3, 2, 1),
T(0, 1) = (1, 1, 0). Determinar:
a) T(x, y).
b) v  R2 tal que T(v) = ( -2, 1, -3).
c) o núcleo de T.
d) a imagem de T.
Resp: T(x, y) = (-2x + y, -x+y, -x) e v = (3,4)
6. Considere R4 com as operações usuais. Decida se cada conjunto de vetores é linearmente dependente ou não. Justifique suas respostas:
a) {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}
b) {(1, 1, 0, 0), (2, 2, 4, 4), (0, 0, 1, 1)}
c) {(x, y, z,w) : x + y + z + w = 0}
d) {(0, 0, 0, 2), (0, 0,−1, 3), (0, 4, 2, 1), (1, 2, 3, 4)}