Momentos e convexidade

Momentos e convexidade
Fevereiro de 2010.

Sum´rio a Introdu¸˜o ca Caso cl´ssico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Classifica¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca Generaliza¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co 1
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2
3

1 A¸˜es hamiltonianas co Estruturas em uma variedade simpl´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . e Aplica¸˜o momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 4
4
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2 Resultados de teoria de Morse

7

3 Demonstra¸˜o seguindo Guillemin e Sternberg ca Formas normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Convexidade local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Convexidade global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9
9
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4 Demonstra¸˜o seguindo Atiyah ca 13

5 Exemplos

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6 Teorema de Schur e Horn

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Apˆndice e 18
A¸˜es de grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 co Equa¸˜es de Cartan e Weil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 co Referˆncias e 19

Introdu¸˜o ca Estas notas breves s˜o parte de um trabalho para a disciplina Geometria simpl´tica; a e per´ ıodo de ver˜o 2010; com o professor H. Bursztyn; no IMPA, Rio de Janeiro. a O objetivo ´ expor o teorema de convexidade de Atiyah, Guillemin e Sternberg e (ver 2 e 46).

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Caso cl´ssico a Uma primeira abordagem do teorema de convexidade ´ a seguinte. e Teorema 1. A imagem da aplica¸˜o momento de uma a¸˜o hamiltoniana de ca ca um toro numa variedade simpl´tica, compacta e conexa ´ convexa. e e
O estudo de a¸˜es de grupos de Lie numa variedade simpl´tica ´ motivado por co e e problemas de mecˆnica (o espa¸o de posi¸˜es e momentos de um sistema ´ a c co e naturalmente simpl´tico). Souriau introduziu, na d´cada de 1970, as aplica¸˜es e e co momento e a¸˜es