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Veja agora:

Caso os focos estejam sobre o eixo y e também equidistantes da origem, a equação reduzida da hipérbole será:

Analogamente, podemos generalizar essa equação para um centro qualquer.
Considerando o centro da hipérbole O(, ) e os eixos (real e imaginário) paralelos aos eixos x e y, temos:
1°) Eixo real paralelo ao eixo x:

2°) Eixo real paralelo ao eixo y:

Assíntotas da hipérbole

Consideremos a figura abaixo.

Podemos construir o retângulo MNPQ, de dimensões 2 e 2. As retas e , que contém as diagonais desse retângulo, são denominadas assíntotas da hipérbole.
Logo, as equações das retas assíntotas são ou e ou .

Hipérbole equilátera

Observemos a figura:

Quando temos , o retângulo MNPQ se transforma em um quadrado. Nesse caso, as assíntotas tornam-se perpendiculares e a hipérbole é denominada hipérbole equilátera.
A equação desse hipérbole equilátera de centro O(, ) é:

Exercícios – página 131
7. Determine a equação da elipse conhecendo:
a) os focos F1 (3, 0) e F2 (-3, 0) e o comprimento do eixo maior 8; c = 3
A = 2
8 = 2

4

b) os focos F1 (0, 4) e F2 (0, -4) e as extremidades do eixo maior A1 (0, 6) e A2 (0, - 6); c = 4 6

c) os focos F1 (0, 4) e F2 (0, -4) e a excentricidade e= ;

c = 3

d) os vértices A1 (5, 0) e A2 ( -5, 0) e a excentricidade e = ;

c = 5

8. Determine as coordenadas dos focos, as coordenadase das extremidades do eixo maior e a excentricidade das elipses da equação:
a)

A1 = (12, 0); A2 = (-12, 0); F1 (, 0); F2 (-, 0); .
b)

A1 = (5, 0); A2 = (-5, 0); F1 (5, 0); F2 (-5, 0); .
c)

A1 = (0, ); A2 = (0, ); F1 (0, -1); F2 (0, 1); .

A1 = (3, 0); A2 = (-3, 0); F1 (, 0); F2 (-, 0); .
Exercícios – página 141
20. Determine a equação da hipérbole, dados:
a) os focos F1 (8, 0) e F2 (-8, 0) e os vértices A1 (5, 0) e A2 ( -5, 0); c = 8

b) os vértices A1 (3, 0) e A2 (