02 03 Algebra Boole 1

FACULDADE ANHANGUERA DE CAMPINAS – UNIDADE 2
CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO
EXT915 – CIRCUITOS DIGITAIS

AULA 2 e 3
PROPRIEDADES DA ÁLGEBRA DE BOOLE E MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES
1. Constantes, Variáveis e Expressões
•

Existem apenas duas constantes booleanas
◦ 0 (zero)
◦ 1 (um)

• Variáveis booleanas são representadas por letras e assumem os valores 0 ou 1.
◦ Exemplos: A, B, C
•

Uma expressão booleana é uma expressão matemática envolvendo constantes e/ou variáveis booleanas e seu resultado assume apenas dois valores (0 ou 1).
◦ Exemplos:
▪ S = A.B
▪ S = A+B.C

2. Postulados da Álgebra de Boole
•

Complemento
◦ Se A=0 então Ā=1
◦ Se A=1 então Ā=0

•

Adição (OU / OR)
◦ 0+0=0
◦ 0+1=1
◦ 1+0=1
◦ 1+1=1

•

Multiplicação (E / AND)
◦ 0.0=0
◦ 0.1=0
◦ 1.0=0
◦ 1.1=1

•

Notações alternativas
◦ Ā = A’
◦ Ā=¬A

Página 1

3. Propriedades da Álgebra de Boole
Propriedade

Complemento

Adição

Multiplicação

Identidade

A=A

A+0=A

A.0=0

A+1=1

A.1=A

A+A=A

A.A=A

A+A=1

A.A=0

Comutativa

A+B=B+A

A.B=B.A

Associativa

A+(B+C)=(A+B)+C

A.(B.C)=(A.B).C

=A+B+C

=A.B.C

A+(B.C)=(A+B).(A+C)

A.(B+C)=A.B+A.C

Distributiva

•

Absorção
◦ A + (A.B) = A
◦ A . (A+B) = A

•

Outras Identidades
◦ A + Ā.B = A + B
◦ (A+B).(A+C) = A + B.C

•

De Morgan
◦ (A.B) = Ā + B
◦ (A+B) = Ā . B

•

De Morgan se estende para n variáveis
◦ (A.B. ... . n)’ = Ā + B + ... + n
◦ (A+B+ ... +n)’ = Ā . B . ... . n

•

Exercícios

◦ Demostre, usando simplificação por postulados e propriedades, ou seja, por transformações algébricas que:
▪ A+A.B = A
▪ A.(A+B) = A
▪ A + Ā.B = A + B
◦ Solução
▪ A+A.B = A
• A + A.B
• = A.(1+B) distributiva • = A.(1) identidade da adição
• =A identidade da multiplicação
▪ A.(A+B) = A
• A.(A+B)= (A.A) + (A.B) distributiva • = A + (A.B) identidade da multiplicação
• =A pela prova do exercício acima
•
Página 2

▪ A + Ā.B = A + B
• A + Ā.B = (A + Ā).(A+ B)
• = 1.(A+B)
• =A+B

distributiva identidade da adição identidade da multiplicação

4. Simplificação de Expressões Booleanas
•

Há duas formas