Pesquisa Operacional

Introdução Grafos Grafos Grafos Prof. Dr. Julio Arakaki www.pucsp.br/~jarakaki (jarakaki@pucsp.br) Depto. Ciência da Computação © Julio Arakaki 1 Ciência da Computação Introdução Grafos Problema – Abstração – Modelo – Solução Problema – Abstração – Modelo – Solução Problema Real (Muitos) Abstração (Análise do problema) Modelagem Grafos (Ferramenta de abstração) Aplicação de algoritmos Solução no domínio dos Grafos © Julio Arakaki 2 Ciência da Computação 1 Introdução Grafos O que é um Grafo? (formal) O que é um Grafo? (formal) “Um grafo é representado como um conjunto de pontos (vértices) ligados por retas (as arestas). Dependendo da aplicação, as arestas podem ser direcionadas, e são representadas por setas". - Wikipédia - © Julio Arakaki 3 Ciência da Computação Introdução Grafos O que é um Grafo? (mais informal) O que é um Grafo? (mais informal) “Abstração que permite representar o relacionamento entre pares de elementos“ Onde: Elementos – vértices do grafo (computadores, empresas, cidades, paises, pessoas, páginas web, etc...) Relacionamentos – arestas do grafo (conexão, distância, amizade, custo, etc...) © Julio Arakaki 4 Ciência da Computação 2 Introdução Grafos Exemplo de Grafo: Tráfego Rodoviário/Aéreo Exemplo de Grafo: Tráfego Rodoviário/Aéreo Transporte comercial entre cidades Vôo entre as cidades São Paulo Campo Grande Rio de Janeiro

primariamente estudados". No entanto, a resolução do problema das sete pontes de Königsberg por Leonard Euler em 1736 é considerada como sendo um dos primeiros resultados topológicos. Este é um exemplo de problema que liga diferentes áreas da matemática, nesse caso a topologia com a teoria dos grafos. Com o estudo dos espaços de funções realizados por nomes notáveis como Cantor, Volterra, Àrzela, Hadamard, entre outros culmina com o trabalho de Frechet onde é introduzido a noção de…

1735, Euler ganha fama mundial ao 1735 resolver um problema que por décadas foi desafio para os matemáticos da época (Série infinita da soma dos inversos dos quadrados – conhecido como problema da Basiléia); A maioria dos grandes matemáticos de seu tempo tentaram sem êxito encontrar o resultado desta série infinita; • • Euler possuía apenas 28 anos na época; possuí Leonhard Euler • Um ano mais tarde (1736), Euler resolve o problema conhecido como as Sete pontes de Königsberg.…

publicado em 1736, sobre o problema das sete pontes de Konigsberg, é considerado o primeiro resultado da teoria dos grafos. É também considerado um dos primeiros resultados topológicos na geometria; isto é, não dependente de quaisquer medidas. Isso ilustra a profunda conexão entre a teoria dos grafos e topologia. Exemplos Grafo com 4 vértices e 6 arestas. É um grafo completo, conexo e planar. Um grafo com 6 vértices e 7 arestas Grafo Orientado Um grafo…

Grafos e suas Aplicações SALVADOR 2014 CEEP ISAIAS ALVES JAEMERSON SANTOS DA CONCEIÇÃO EVANILDO NERES Algoritmos Trabalho apresentado à disciplina de algoritmos para obtenção de nota parcial nesta unidade. SALVADOR 2014 Sumário 1. Definição formal de um grafo 1 2. Conceito 1 3. Principais tipos de grafos 2 4. Problema das sete pontes de Konigsberg 3 5. Problema 4 6. Modelo do problema 4 7. Solução 5 8.…

Após alguns problemas de saúde, Euler perdeu a visão. Sua deficiência visual não o impediu de seguir a sua carreira e vir a ser um dos matemáticos mais produtivos. Entre 1766 e 1783, Euler escreveu quase metade de suas 866 obras, apesar da cegueira. Em 7 de setembro de 1783, aos 76 anos, ele faleceu. Contribuições para a Ciência Leonhard Euler - Contribuições para a Ciência Entre os números reais mais conhecidos, temos de destacar dois que estão associados ao nome de…

CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA CURSO DE INFORMATICA Problema do Carteiro Chinês Aluno(a)s: . . . . Profa. . SALVADOR - BA 2011 . . . . Problema do Carteiro Chinês Trabalho apresentado a Universidade Católica do Salvador, como parte de requisito de avaliação da disciplina Teoria dos Grafos, do curso de Informática sobre a orientação da Professora . SALVADOR - BA…

Análise Combinatória 3o Ano | 1o Bimestre - 1° Campo Conceitual Revisitando a Análise Combinatória “..., algumas cidades do país sofrem com a falta de coleta de lixo. Em Duque de Caxias, no estado do Rio, o problema se arrasta há meses. Nesta sextafeira (28) um mutirão começou a limpar o município. Ruas que estavam bloqueadas em Duque de Caxias, na Baixada Fluminense, começaram nesta sexta-feira a ficar livres para a passagem de veículos ... Cem caminhões e…

Sete pontes de Königsberg é um problema histórico, resolvido por Leonhard Euler em 1736, cuja solução originou a teoria dos grafos. O problema é baseado na cidade de Königsberg (território da Prússia até 1945, atual Kaliningrado), que é cortada pelo Rio Prególia, onde há duas grandes ilhas que, juntas, formam um complexo que na época continha sete pontes. Discutia-se os moradores da cidade a possibilidade de atravessar todas as pontes sem repetir nenhuma, tornado uma lenda popular a…

lado oposto): Ortocentro Finalmente, o terceiro é o centro da circunferência que contém os três vértices do triângulo: Circuncentro O que Euler provou foi que, em qualquer triângulo, estes três pontos estão na mesma reta. Reta essa que passou a ter nome próprio: Reta de Euler: Reta de Euler 3. Grafo de Königsberg Em Königsberg, na Alemanha, o rio Pregel tem sete pontes que ligam as margens e duas ilhas. Os habitantes desta cidade interrogavam-se sobre a possibilidade de percorrer as…