Introdução à topologia

Topologia (matemática)

Topologia (do grego topos, "lugar", e logos, "estudo") é o ramo da matemática que estuda os espaços topológicos, sendo considerado como uma extensão da geometria.
A palavra topologia é usada tanto para descrever essa área de estudos quanto para designar uma família de conjuntos (conjuntos abertos) utilizados para definir o conceito básico da teoria, o espaço topológico.
A Topologia é uma área muito ampla, com muitas sub-áreas. A divisão mais básica é:
Topologia Geral, que investiga conceitos como compacidade, conexidade, separabilidade;
Topologia algébrica, que investiga conceitos como homotopia e homologia;
Topologia geométrica, que estuda as variedades e suas aplicações, fibrados incluindo a teoria dos nós.
Particularmente importantes no estudo dos espaços topológicos são as funções conhecidas como homeomorfismos. Trata-se de funções que preservam a "estrutura topológica" do seu espaço. Assim, se entre dois espaços existe um homeomorfismo, então esses espaços são topologicamente indistinguíveis.
História

A palavra topologia foi oficialmente usada pela primeira vez por Johann Benedict Listing em 1847 no artigo Vorstudien zur Topologie, Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen, pp. 67, 1848. Entretanto Listing já vinha usando tal termo há pelo menos 10 anos, em suas correspondências. O termo "Topology" (Topologia em inglês) foi introduzido muitos anos mais tarde na revista Nature em um artigo de 1883 com a finalidade de "distinguir a geometria qualitativa da geometria comum onde os aspectos qualitativos são primariamente estudados".
No entanto, a resolução do problema das sete pontes de Königsberg por Leonard Euler em 1736 é considerada como sendo um dos primeiros resultados topológicos. Este é um exemplo de problema que liga diferentes áreas da matemática, nesse caso a topologia com a teoria dos grafos.
Com o estudo dos espaços de funções realizados por nomes notáveis como Cantor, Volterra, Àrzela, Hadamard, entre outros culmina