Cauchy

9. Um conjunto é dito limitado se todos os seus pontos pertencem a um disco: |z| < c. Um conjunto que contém todos os seus pontos de acumulação e é limitado é denominado compacto. 3 EQUAÇÕES DE CAUCHY-RIEMANN EM COORDENADAS POLARES Em certos casos é útil considerar as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares. As relações entre coordenadas cartesianas (x,y) e coordenadas polares (r, θ) são x = r cos θ, y = r sin θ. A transformação de coordenadas no domínio de…

caminhos diferentes resulta em valores diferentes a derivada não existe. Im y + ∆y T II ' r z + ∆z = (x + ∆x) + i(y + ∆y) y c r' z = x + iy c I E x x + ∆x Re Figura 2.2: ∆z → 0 por dois caminhos poligonais. 2.3 Equações de Cauchy-Riemann Um conceito importante na teoria das funções complexas é o de analiticidade. Denição 1 (Analiticidade) Um função complexa f é dita analítica em um domínio D se ela é denida e diferenciável em cada ponto deste domínio.…

conjunto fechado 2. C´alculo diferencial em R 2.1 Conceito de derivada num ponto 2.2 Interpreta¸c˜ao f´ısica 2.3 As regras usuais de deriva¸c˜ao 2.4 Monotonia, concavidades, extremos e ass´ımptotas 2.5 Teorema de Rolle, de Lagrange e de Cauchy 2.6 Regra de Cauchy e de L’Hˆopital 3. Primitiva¸c˜ao 3.1 Defini¸c˜ao e algumas propriedades 3.2 Primitivas imediatas 3.3 Primitivas por partes e por substitui¸c˜ao 3.4 Primitivas de fun¸c˜oes racionais 4. Integra¸c˜ao 4.1 Integral de…

descobridor da regra. A fim de provar o Teorema 1, isto é, a Primeira Regra de L'Hospital, vamos primeiramente examinar uma outra Propriedade cujo resultado será usado na demonstração da referida Regra. Essa propriedade é devida a Cauchy. Precisamente, temos: Teorema de Cauchy: Sejam f e g duas funções contínuas em [a,b], deriváveis em ]a,b[, tais que para todo . Existe então tal que Prova: Seja , e observemos que pois se assim não fosse, pelo Teorema do Valor Médio aplicado…

tornando rigorosa a noção de limite da sua razão incremental, na sequência de uma ideia de d’Alembert cerca de 1752. Cauchy deu passos decisivos no estudo das funções complexas com base nas condições necessárias de diferenciabilidade obtidas por Euler, mas só com o trabalho de B. Riemann3, em 1851, é que estas condições são plenamente exploradas. Ficaram conhecidas por “condições de Cauchy-Riemann”. Podem ser expressas por equações que relacionam as derivadas parciais das partes…

dos axiomas. a b 2 Desigualdade de Cauchy: a, b Demonstração: x Para x 2 a e y2 b: y 2 0 a b 2 x 2 ab y 2 2 xy ab x2 y2 2 xy * x1 , x2 , x3 ,..., xn Teorema auxiliar de Cauchy: x1 x2 x3 ...xn x1 1 x2 x3 ... xn n Demonstração: (pelo Princípio da Indução finita) 1) Provando para casos particulares n 1: x1 1 1 (V) n 2 : x1 x2 1 x1 Pela desigualdade de Cauchy (provada anteriormente),…

conceitos de resíduos e suas propriedades, que foram posteriormente utilizadas em diversas etapas da análise do problema de escoamento de fluidos. Dentre os resultados mais importantes encontram-se as condições de Cauchy-Riemann, o teorema de Cauchy-Goursat, a fórmula integral de Cauchy, as séries de Laurent, e o teorema dos resíduos. Essas fórmulas e teoremas, bem como suas consequências, estão detalhadas em [1]. As considerações matemáticas consideradas correspondem às…

entre [pic] e [pic], Gauss obteve um sistema de seis equações lineares em seis incógnitas. Gauss deu um método sistemático para a resolução de equações desse tipo, o que é precisamente o método sobre a matriz coeficiente que conhecemos hoje. Foi Cauchy que usou "determinante" em seu sentido moderno. O seu trabalho é o mais completo dos primeiros trabalhos sobre determinantes. Ele reprovou os trabalhos anteriores e deu novos resultados sobre esse assunto. No artigo de [pic], o…

ıtica em Ω = C − {z1 , z2 , z3 , z4 } onde z1 = + 16 , z4 = 2e−i3π/4 s˜o os 4 pontos onde ela n˜o est´ definida. a a a 3.3 Equa¸oes de Cauchy-Riemann c˜ Nesta se¸˜o mostraremos que a parte real u(x, y) e imagin´ria v(x, y) de uma fun¸˜o ca a ca anal´tica f (z) = u(x, y) + iv(x, y) satisfazem certas equa¸˜es conhecidas como “Equa¸˜es ı co co de Cauchy-Riemann”. Tamb´m veremos que tais equa¸˜es s˜o suficientes para determinar e co a a analiticidade de uma fun¸˜o complexa. ca 20 Se z0

exigindo para isso um conceito não geométrico de continuidade de uma curva ou função. Bolzano, a essa época, já havia percebido tão bem a necessidade de rigor em Análise, que Klein o chamou "pai da aritmetizaçao", embora tivesse menos influência que Cauchy com sua análise baseada em conceitos geométricos mas, embora os dois nunca tivessem se encontrado, suas definições de limite, derivada, continuidade e convergência eram bem semelhantes. Em uma obra póstuma de 1850, Bolzano chegou…