Desigualdade

Desigualdades

(por Iuri de Silvio ITA-T11)

Apresentação
O objetivo desse artigo é apresentar as desigualdades mais importantes para quem vai prestar IME/ITA, e mostrar como elas podem ser utilizadas na resolução de problemas.
Axiomas
a
- Tricotomia dos números reais: a
- Adição: a b, c a c b c a b e c 0 ac bc
- Multiplicação: a b e c 0 ac bc
- Transitividade: a b e b c a c

0 ou a

0 ou a

0

Teoremas

1 a 1) a b e ab 0

1 b 2) a b e c

d

Demonstração:

3) a b e c

1
.b
ab

1 b 1 a a c b d

a b c d

Transitiva

b c b d

a b c a c b c

Adição

*

d ; a, b, c, d

Demonstração:

1
.a
ab

Multiplicação

Demonstração: a b

a c b d

ac bd ac bc

Multiplicação

d

Transitiva

bc bd

ac bd

Esses três teoremas iniciais são apenas para lembrar algumas propriedades essenciais daqui pra frente, e mostrar as demonstrações a partir dos axiomas.

a b
2

Desigualdade de Cauchy: a, b
Demonstração: x
Para x 2

a e y2

b:

y

2

0

a b
2

x

2

ab

y

2

2 xy

ab x2 y2
2

xy

*

x1 , x2 , x3 ,..., xn

Teorema auxiliar de Cauchy:

x1 x2 x3 ...xn

x1

1

x2

x3 ... xn

n

Demonstração: (pelo Princípio da Indução finita)
1) Provando para casos particulares n 1: x1 1 1 (V) n 2 : x1 x2

1

x1

Pela desigualdade de Cauchy (provada anteriormente),

Tese:

x1 x2 x3 ...xk

x1 , x2 , x3 ,..., xk , xk x1 x2 x3 ...xk xk

x1

1

x2

x3 ... xk

x1

x2

x3 ... xk

Demonstração da tese de indução x1 x2 x3 ...xk 1 xk xk 1 1 x1 x2 x3 ... xk
Sem perda de generalidade, supomos xk x1 x2

x3 ... xk

Somando x1 x2

xk xk

1

x3 ... xk

Fatorando: x1

x2

xk

1

1 x1

x2

2 (V).

k

*
1

1

1

2

*

x1 , x2 , x3 ,..., xk

2) Hipótese:

x2

xk

xk xk

1

xk xk

1

1 e xk

1

1.

k

xk

xk

1

xk

1

k 1

k

1

1

em