Triangulo ortogonal

MODULO 1 - AULA 10 Aula 10 – Triˆngulo Retˆngulo a a Proje¸˜o ortogonal ca Em um plano, consideremos um ponto e uma reta. Chama-se proje¸˜o ca ortogonal desse ponto sobre essa reta o p´ da perpendicular tra¸ada do ponto e c ` reta. a Na figura, o ponto Q’ ´ a proje¸˜o ortogonal de Q sobre r. e ca Proje¸˜o ortogonal de um segmento sobre uma reta ´ o conjunto das proje¸˜es ca e co ortogonais de todos os pontos desse segmento. Nas figuras, a proje¸˜o ortogonal do segmento AB sobre a reta r ´ o segca e mento A’B’. Note que a proje¸˜o ortogonal de um segmento cuja reta suporte ´ perpenca e dicular a reta ´ o ponto A’ = B’. ` e 179 CEDERJ Rela¸˜es m´tricas nos triˆngulos retˆngulos co e a a Elementos Considere a figura: BC = a ´ a hipotenusa. e AB = c e AC = b s˜o os catetos. a AH = h ´ a altura relativa a hipotenusa. e ` BH = n e CH = m s˜o, respectivamente, as proje¸˜es dos catetos AB e a co AC sobre a hipotenusa BC. Rela¸˜es co No triˆngulo retˆngulo ABC da figura, sendo: a a BC = a, AC = b, AB = c, AH = h, BH = n, e CH = m ent˜o valem as seguintes rela¸˜es: a co 1) m + n = a; 2) b2 = a · m; 3) b · c = a · h; 4) c2 = a · n; 5) b2 + c2 = a2 (Teorema de Pit´goras); a 6) h2 = m · n. CEDERJ 180 MODULO 1 - AULA 10 Prova: Seja o ∆ABC retˆngulo, sendo BC = a, AC = b, AB = c, AH = h, BH = n a e CH = m. Como BH + HC = BC ⇒ n + m = a Considere os triˆngulos AHC e ABC, a  ˆ  C comum    (1) ˆ ˆ AHC = BAC = 90 AA∼ ◦ =⇒ ∆AHC ∼ ∆ABC Da´ ı,

MODULO 1 - AULA 10 Aula 10 – Triˆ angulo Retˆ angulo Proje¸c˜ ao ortogonal Em um plano, consideremos um ponto e uma reta. Chama-se proje¸c˜ao ortogonal desse ponto sobre essa reta o p´e da perpendicular tra¸cada do ponto `a reta. Na figura, o ponto Q’ ´e a proje¸c˜ao ortogonal de Q sobre r. Proje¸c˜ao ortogonal de um segmento sobre uma reta ´e o conjunto das proje¸c˜oes ortogonais de todos os pontos desse segmento. Nas figuras, a proje¸c˜ao ortogonal do segmento AB sobre a reta r ´e o…

Geometria Básica Volume 1 - Módulo 1 2ª edição Apoio: Dirce Uesu Pesco Roberto Geraldo Tavares Arnaut Fundação Cecierj / Consórcio Cederj Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira – Rio de Janeiro, RJ – CEP 20943-001 Tel.: (21) 2334-1569 Fax: (21) 2568-0725 Presidente Masako Oya Masuda Vice-presidente Mirian Crapez Coordenação do Curso de Matemática UFF - Regina Moreth UNIRIO - Luiz Pedro San Gil Jutuca Material Didático Departamento de Produção ELABORAÇÃO DE…

correspondentes) GCH= β = FAC a Da´ ı α + β = 110o Fundacao CECIERJ ¸˜ ´ Consorcio CEDERJ ´ Geometria Basica Exerc´cios Resolvidos ı 255 Exerc´ ıcio 4: Seja a figura ao lado e considere: ˆ ˆ ˆ AB= AC, m(EBD)=60o, m(BCE)=50o e m(DCE)=30o . ˆ Determine a medida do ˆngulo BDE. a Solu¸˜o: ca ˆ ˆ Considere a figura dada e que AB = AC, m(EBD) = 60o , m(BCE) = 50o e ˆ = 30o . m(DCE) ˆ ˆ Como AB = AC, ent˜o m(ABC) = m(ACB)=80o a ˆ Temos que ∆CBD ´ is´sceles, j´ que m(BDC)…

de trˆs segmentos de reta AB, AC e BC, em que A, a e a e B e C s˜o trˆs pontos que n˜o pertencem a uma mesma reta, ou seja, que a e a n˜o s˜o colineares. a a 31 CEDERJ Triˆngulos: classifica¸˜o e congruˆncia a ca e Os pontos A, B e C, referidos na defini¸ao anterior, s˜o chamados c˜ a v´rtices do triˆngulo, enquanto os segmentos AB, AC e BC s˜o ditos lados e a a ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a do triˆngulo, e os angulos B AC, ABC e ACB (ou A, B e C) s˜o os angulos a ˆ ˆ…

2oP – Fundamentos de Programação Álgebra Linear Dia 28/08 – Terça-feira 1º P – Fundamentos de Algoritmos Introdução à Informática 2o P – Matem. p/ Computação Estrutura de Dados 3o P – Programação I Probabilidade e Estatística Modelagem da Informaçã 4o P – Programação II Física para Computação 5º P – Programação III Engenharia de Software 3o P – Organização de Computadores 4o P – Sistemas Operacionais Banco de Dados 5º P – Arquit Projeto Sistemas I Redes de Computadores I 6º…

congruentes s˜ao denominadas congruentes se tˆem a mesma a´rea. Na figura, os triˆangulos s˜ao congruentes e da´ı, ´area T1 = ´area T2 . Superf´ıcies equivalentes Duas superf´ıcies s˜ao denominadas equivalentes se tˆem a mesma a´rea. Assim, as superf´ıcies das figuras 1 e 2 s˜ao equivalentes. 223 CEDERJ    ´areafigura 1 = ´area   ´areafigura 2 = ´area T1 T1 + a´rea + a´rea T2 ⇒ ´areafigura 1 = ´areafigura 2 T2 Vamos precisar de dois postulados para o estudo de ´areas de…

coordenadas usando determinantes de tamanho 3 × 3. Nesta aula, vamos definir um novo produto que a trˆes vetores no espa¸co associa um n´ umero real. Para isso, vamos adotar a vis˜ao geom´etrica abordada na Aula 8. Daqui em diante, fixamos um referencial ortonormal positivo − → − → e→ C = {O; − 1 , e2 , e3 }. Consideremos quatro pontos n˜ao-coplanares O, A, B e C no espa¸co. Ent˜ao, os segmentos OA, OB e OC s˜ao trˆes arestas adjacentes de um paralelep´ıpedo P como o da Figura 9.1. Vamos…

caso a a L.L.L., e s˜o triˆngulos retˆngulos is´sceles. Logo os lados do quadril´tero a a a o a ABDC s˜o iguais e seus angulos internos s˜o retos. a ˆ a 7 CEDERJ Aula 12 – Quadril´teros I a Sabe-se, pela Geometria B´sica, que o ap´tema de um pol´ a o ıgono regular ´ o segmento cujos extremos s˜o o centro do pol´ e a ıgono regular e o ponto m´dio de um lado. No caso de um quadrado, o ap´tema tem a medida que e o corresponde a m´tade do lado. e Exerc´ ıcios: o 1. Construir um…

dizer que os segmentos orientados AB e AC tˆem a mesma dire¸ca˜o (ambos est˜ao contidos em ). Figura 4.1: A, B e C colineares. Portanto, os pontos distintos A, B e C no espa¸co s˜ ao colineares se, e −−→ −−→ somente se, existe um escalar λ ∈ R, tal que AC = λAB . De fato, quando os pontos distintos A, B e C s˜ao colineares, temos −−→ −→ d(A,C) − AC = ± d(A,B) AB , onde escolhemos o sinal positivo caso B e C estejam do mesmo lado em rela¸ca˜o ao ponto A na reta que os cont´em. Estas…