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MODULO 1 - AULA 10

Aula 10 – Triˆ angulo Retˆ angulo Proje¸c˜ ao ortogonal
Em um plano, consideremos um ponto e uma reta. Chama-se proje¸c˜ao ortogonal desse ponto sobre essa reta o p´e da perpendicular tra¸cada do ponto
`a reta.
Na figura, o ponto Q’ ´e a proje¸c˜ao ortogonal de Q sobre r.

Proje¸c˜ao ortogonal de um segmento sobre uma reta ´e o conjunto das proje¸c˜oes ortogonais de todos os pontos desse segmento.
Nas figuras, a proje¸c˜ao ortogonal do segmento AB sobre a reta r ´e o segmento A’B’.

Note que a proje¸c˜ao ortogonal de um segmento cuja reta suporte ´e perpendicular a` reta ´e o ponto A’ = B’.

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CEDERJ

Rela¸ c˜ oes m´ etricas nos triˆ angulos retˆ angulos Elementos
Considere a figura:

BC = a ´e a hipotenusa.
AB = c e AC = b s˜ao os catetos.
AH = h ´e a altura relativa a` hipotenusa.
BH = n e CH = m s˜ao, respectivamente, as proje¸c˜oes dos catetos AB e
AC sobre a hipotenusa BC.
Rela¸
c˜ oes No triˆangulo retˆangulo ABC da figura, sendo:

BC = a, AC = b,
AB = c, AH = h,
BH = n, e CH = m

ent˜ao valem as seguintes rela¸c˜oes:
1) m + n = a;
2) b2 = a · m;
3) b · c = a · h;
4) c2 = a · n;
5) b2 + c2 = a2 (Teorema de Pit´agoras);
6) h2 = m · n.
CEDERJ

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MODULO 1 - AULA 10

Prova:
Seja o ∆ABC retˆangulo, sendo BC = a, AC = b, AB = c, AH = h, BH = n e CH = m.

Como
BH + HC = BC ⇒ n + m = a

(1)

Considere os triˆangulos AHC e ABC,

ˆ

 C comum



ˆ = BAC
ˆ = 90
AHC

Da´ı, a b c =
= ⇒ b m h =⇒ ∆AHC ∼ ∆ABC

AA∼
◦

b2 = a · m b·c=a·h (2)
(3)

Considere os triˆangulos AHB e ABC

ˆ

 B comum



ˆ = BAC
ˆ = 90
AHB

=⇒ ∆AHB ∼ ∆ABC

AA∼
◦

Da´ı c b a = = ⇒ c2 = a · n c n h (4)

Somando (2) e (4): b2 + c2 = a · m + a · n = a(m + n)
De (1) b2 + c2 = a · a
Da´ı
b2 + c2 = a2

(5)
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CEDERJ

Multiplicando (2) e (4) vem: b2 · c2 = a · m · a · n = a2 m · n,
De (3) vem: a2 · h2 = a2 m · n, a = 0 ⇒ h2 = m · n

(6)

Observa¸c˜ao:
Triˆangulos pitag´oricos s˜ao triˆangulos retˆangulos cujos lados tˆem por medida n´ umeros inteiros.
Exemplo: Os