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Colinearidade, coplanaridade e dependˆencia linear

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MODULO
1 - AULA 4

Aula 4 – Colinearidade, coplanaridade e dependˆ encia linear
Objetivos
• Compreender os conceitos de independˆencia e dependˆencia linear.

• Estabelecer condi¸co˜es para determinar quando uma cole¸ca˜o de vetores
´e linearmente independente.
• Interpretar as no¸co˜es geom´etricas de colinearidade e coplanaridade na linguagem da dependˆencia linear de vetores.
Na Aula 3, do M´odulo 1, vimos como a no¸ca˜o de dependˆencia linear de vetores no plano torna alg´ebrica a quest˜ao de determinar quando dois segmentos dados s˜ao ou n˜ao paralelos, isto ´e, vimos que dois segmentos no plano s˜ao paralelos quando os vetores que eles representam s˜ao linearmente dependentes (LD). Em particular, o problema geom´etrico de determinar quando trˆes pontos A, B e C dados no plano s˜ao colineares ´e transformado no pro−−→ −−→ blema alg´ebrico que consiste em determinar se os vetores AB e AC s˜ao LD.
Al´em disso, vimos que todo vetor do plano pode ser escrito de forma u
´ nica como a soma de m´ ultiplos de dois vetores linearmente independentes (LI) dados. Nesse sentido, dois vetores linearmente independentes geram todo o plano. Nesta aula, analisamos os conceitos de colinearidade e coplanaridade no espa¸co em termos vetoriais. Nosso primeiro desafio ´e determinar condi¸co˜es para que trˆes pontos distintos A, B e C, no espa¸co, sejam colineares.
Sabemos que trˆes pontos distintos A, B e C s˜ao colineares se, e somente se, pertencem a uma mesma reta , isto equivale a dizer que os segmentos orientados AB e AC tˆem a mesma dire¸ca˜o (ambos est˜ao contidos em ).

Figura 4.1: A, B e C colineares. Portanto, os pontos distintos A, B e C no espa¸co s˜ ao colineares se, e
−−→
−−→ somente se, existe um escalar λ ∈ R, tal que AC = λAB .

De fato, quando os pontos distintos A, B e C s˜ao colineares, temos
−−→
−→ d(A,C) −
AC = ± d(A,B)
AB , onde escolhemos o sinal positivo caso B e C estejam do mesmo lado em rela¸ca˜o ao