engenharia

As Superfícies de Revolução Uma superfície de revolução é definida como uma superfície obtida pela rotação de uma curva plana em torno de uma reta que pertence ao mesmo plano da curva. A reta é chamada de eixo de revolução. Por exemplo, uma esfera é a superfície de revolução gerada pela rotação de um círculo em torno de um eixo passando pelo seu centro. Observe que a interseção de qualquer plano perpendicular ao eixo com a superfície de rotação é uma circunferência ou um ponto. A figura acima mostra uma parte de uma superfície obtida pela rotação da curva do plano em torno do eixo . Para achar a equação da superfície, considere um ponto genérico na superfície observando que é obtido pela rotação de algum ponto da curva original . Sendo , então . Como está no plano , sua coordenada é zero, de modo que , sendo . Assim, de modo que . Concluímos que, se pertence à superfície de revolução, então ou pertencem a geratriz. Reciprocamente, se é um ponto dado na curva geratriz , então qualquer ponto tal que pertence a um círculo horizontal de raio com centro em . Concluímos então que a equação da superfície gerada pela rotação da curva no plano em torno do eixo é obtida substituindo a variável na equação de pela expressão . Exemplo 1: A semi-circunferência é girada em torno do eixo para formar a superfície hemisférica. Determine a equação desta superfície. Resolução: Substituindo na equação por , temos Observação 1:…

INTEGRAL DEFINIDA Cálculo II › Área de uma Superfície de Revolução Quando uma curva plana gira em torno de uma reta no plano, obtemos uma superfície de revolução. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA Cálculo II › Área de uma Superfície de Revolução Supondo que f(x) ≥ 0, para todo x ∈ [a, b], e que f é uma função derivável em [a, b], a fórmula do cálculo da área de uma superfície de revolução é dada por: b b a a A   2f ( x)dS   2f ( x) 1  [ f `( x)]2 dx APLICAÇÕES DA…

sólido de Revolução Considerando as diversas formas que encontramos na natureza, podemos verificar que muito poucas tem formas regulares, dificilmente poderíamos encontrar o volume de um corpo solido encontrado comumente na natureza por meio da geometria euclidiana, as curvas são comuns no nosso mundo, muitas delas podem ser determinadas por equações, porem antes que a teoria do Calculo fosse elaborada os volumes eram calculados por aproximações. Hoje podemos obter muitos dos volumes de…

DE SÓLIDO POR REVOLUÇÃO COMPRIMENTO DE ARCO DE CURVA ÁREA DE SUPERFICIE POR REVOLUÇÃO DE CURVA Tubarão 2013 VOLUME DE SÓLIDO POR REVOLUÇÃO COMPRIMENTO DE ARCO DE CURVA ÁREA DE SUPERFICIE POR REVOLUÇÃO DE CURVA Trabalho de pesquisa sobre áreas de superfície por revolução, referente à disciplina de Calculo II, do Curso de Engenharia Civil, da Universidade do Sul de Santa Catarina. Tubarão 2013 INTRODUÇÃO Os sólidos de…

Geometria Analítica Enquanto em cálculo I as coordenadas eram (x,y) usava-se o espaço R², em cálculo II as coordenadas serão (x,y,z) então usaremos o espaço R³, mas não apenas ele, podemos usar o R4, R5, até Rn, dependendo do número de variáveis. Sistema de coordenadas ortogonais no espaço Quando desenhamos um sistema no qual localizaremos os pontos, utilizamos retas perpendiculares, ( retas que formam um ângulo de 90º entre si) e o ponto no qual essas retas se encontram é chamado de…

Sólido de revolução é a figura tridimensional obtida pela rotação de uma superfície em torno de um eixo. Os sólidos de revolução que nos interessam são obtidos de superfícies definidas por funções em um intervalo, através da rotação de y = f(x) em torno do eixo ox, ou em torno do eixo oy. Analogamente ao processo de encontrar área entre curvas no plano e a medida da superfície de sólidos de revolução (agora queremos seu volume) vamos fazer aproximações primeiro dividindo o…

chamada de sólidos de revolução. Exemplo: Colocando o sistema de eixos de modo que o eixo y seja perpendicular à base da pirâmide reta, passando pelo centro, temos: Para cada corte transversal na altura h-y, temos que a secção obtida é um quadrado, paralelo à base, cuja área é (2x)². Examinando o longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever: e daí , ou seja a área de cada secção transversal é . Logo, o volume da pirâmide é dado por:…

Cálculo da área em coordenadas cartesianas Cálculo de comprimento de arco Cálculo da área de um sólido de revolução Cálculo do volume de um sólido de revolução Coordenadas polares: gráficos Cálculo de comprimento de arco em coordenadas polares Cálculo de áreas planas em coordenadas polares - Funções de várias variáveis Definição Representação geométrica de uma função de duas variáveis Derivadas parciais da função de várias variáveis…

A origem das Cônicas Por volta de 350 AC um discípulo de Eudoxo, Menecmos(Menechme) observou que tais curvas poderiam ser obtidas de seções de um cone. Ele começa com um cone circular reto onde a geratriz forma com o eixo um ângulo de 45 graus, o ângulo entre duas geratrizes de uma seção plano pelo vértice é reto. Ele mostra que quando um cone é interceptado por um plano perpendicular a uma geratriz a curva obtida tem relações métricas do tipo y2=λx. Quando este ângulo é menor que 45…

Demonstração de Formulas de área comprimento e volume através de Integral Definida Welton Weber São Bento do Sul Agosto/2013 0 Welton Weber Demonstração de Formulas de área comprimento e volume através de Integral Definida Trabalho a ser apresentado na disciplina de Calculo B no curso de Engenharia de Produção – habilitação mecânica da Universidade do Estado de Santa Catarina, UDESC (CEPLAN). Prof ª: Rodrigo Schmdt São Bento do Sul 28/08/2013 1 SUMARIO …