Resumo C Lculo 2

Geometria Analítica

Enquanto em cálculo I as coordenadas eram (x,y) usava-se o espaço R², em cálculo II as coordenadas serão (x,y,z) então usaremos o espaço R³, mas não apenas ele, podemos usar o R4, R5, até Rn, dependendo do número de variáveis.
Sistema de coordenadas ortogonais no espaço
Quando desenhamos um sistema no qual localizaremos os pontos, utilizamos retas perpendiculares, ( retas que formam um ângulo de 90º entre si) e o ponto no qual essas retas se encontram é chamado de origem.
Plano cartesiano

Espaço tridimensional

Para o caso n=3
Os elementos de R³ são denominados pontos ou vetores, com o seguinte cuidado: (x,y,z) E R³ é um vetor que tem origem em (0,0,0) extremidade (x,y,z)
Dados P1= (x1, y1, z1) e P2= ( x2, y2, z2), o vetor V determinado por P1P2 é:
V= P2-P1= (x2-x1, y2-y1, z2-z1)

Exercício: Determine o vetor V=P1P2, se
P1= (-3,2,-1) P2= (15,2,6) =(18,0,7)
Produto escalar
O produto escalar é um número. Dados U= (u1,u2,u3) e V =(v1,v2,v3) vetores em R³. O produto escalar de U e V, denotado por U.V ou <U,V> é definido por
U.V= u1.v1+u2.v2+u3.v3
O vetor V e ortogonal a W se e somente se V.W=0 ( são perpendiculares ângulo de 90º)
O vetor 0 é o único vetor ortogonal a todos os vetores
Exercício: Determine o valor K de modo que os vetores x= (3, -2k, 4) e y= (1,2,5) sejam ortogonais. K= 23/4

Norma euclidiana de um vetor
A norma é o “tamanho do vetor”, seja V= (v1,v2,v3) a norma euclidiana de V é denotada por llVll e definida por: llVll= ¬V.V = ¬ v1²+v2²+v3²
Um vetor é unitário quando tem tamanho 1
Exercício: Determine a distância de P1 a P2 se:
P1= (1,2,1) P2=(-5,3,1) = ¬37
Se um vetor W não é unitário, então o vetor definido por:
V= W/ llWll é unitário e tem a mesma direção de W
Exercício: Determine um vetor unitário que tem a mesma direção e o mesmo sentido do vetor
X= (2,3,4) = (2,3,4)/¬29

Lei dos cossenos cosƟ = < i , j > ll i ll . ll j ll
Produto Vetorial
O produto vetorial entre dois vetores gera outro vetor