Regressão Linear

A regress˜o linear a Alfred Stadler
´
Departamento de F´ ısica da Universidade de Evora
6 de Outubro de 2009
Resumo
Apresentam-se as f´rmulas que permitem calcular a regress˜o linear o a para um conjunto de pontos, inclu´ ındo os erros associados aos parˆmetros a do modelo linear. Os c´lculos necess´rios s˜o ilustrados num exemplo a a a concreto em todos os pormenores.

1
1.1

Como calcular a regress˜o linear a Os parˆmetros da melhor recta e os seus erros a Em muitos casos sabe-se (ou suspeita-se) que a rela¸˜o entre duas grandezas ca medidas ´ linear, ou pelo menos aproximadamente linear. Nestas circunstˆncias e a
´ frequentemente importante estabelecer esta rela¸˜o linear quantitativamente, e ca no sentido que deve ser deduzida a equa¸˜o do modelo linear (a recta) que ca ´ aproxima de forma mais estreita os pontos experimentais. E isso o objectivo da regress˜o linear. O m´todo mais utilizado para definir o significado de “a a e melhor recta” ´ o chamado “m´todo dos m´ e e ınimos quadrados”. Neste m´todo, a e melhor recta ´ aquela que minimiza a soma dos quadrados das diferen¸as entre e c os pontos dados e os respectivos pontos calculados pelo modelo linear (pela equa¸˜o da recta). ca Veremos agora em mais pormenor como isso ´ feito. Suponhamos que um e conjunto de N pontos (xi , yi ) ´ dado. Procuramos os parˆmetros a e b da recta e a y(x) = a + bx ,

(1)
N

2

ınima. de forma que a soma dos quadrados dos desvios, i=1 [yi − y(xi )] , seja m´
Supondo que os erros dos xi sejam desprez´veis e os erros dos yi todos iguais, a a melhor estimativa destes parˆmetros ´ a e a= Sx2 Sy − Sx Sxy
,
∆

b=

N Sxy − Sx Sy
,
∆

yi ,

Sx2 =

(2)

onde
N

Sx =

N

xi , i=1 Sy =

N

i=1

x2 , i (3)

i=1

N

Sxy =

xi yi ,

2

∆ = N Sx2 − (Sx ) .

i=1

1

(4)

Como j´ mencionado, sup˜e-se que os erros das grandezas medidas yi sejam a o todos iguais,