engenharia

As Superfícies de Revolução
Uma superfície de revolução é definida como uma superfície obtida pela rotação de uma curva plana em torno de uma reta que pertence ao mesmo plano da curva. A reta é chamada de eixo de revolução.

Por exemplo, uma esfera é a superfície de revolução gerada pela rotação de um círculo em torno de um eixo passando pelo seu centro.

Observe que a interseção de qualquer plano perpendicular ao eixo com a superfície de rotação é uma circunferência ou um ponto. A figura acima mostra uma parte de uma superfície obtida pela rotação da curva do plano em torno do eixo .

Para achar a equação da superfície, considere um ponto genérico na superfície observando que é obtido pela rotação de algum ponto da curva original . Sendo , então . Como está no plano , sua coordenada é zero, de modo que , sendo . Assim,

de modo que . Concluímos que, se pertence à superfície de revolução, então ou pertencem a geratriz. Reciprocamente, se é um ponto dado na curva geratriz , então qualquer ponto tal que pertence a um círculo horizontal de raio com centro em .

Concluímos então que a equação da superfície gerada pela rotação da curva no plano em torno do eixo é obtida substituindo a variável na equação de pela expressão .

Exemplo 1: A semi-circunferência é girada em torno do eixo para formar a superfície hemisférica. Determine a equação desta superfície.

Resolução: Substituindo na equação por , temos

Observação 1: Elevando ao quadrado a expressão acima, temos a equação da superfície esférica de raio , ou seja,

Exemplo 2: A parábola no plano é girada em torno do eixo para formar uma superfície de revolução. Ache a equação desta superfície.

Resolução: Substituindo na equação por , temos

Esta superfície é chamada de parabolóide de revolução. Da mesma forma, uma superfície de revolução obtida pela rotação de um hipérbole ou uma elipse em torno de um de seus eixos de simetria é chamada de