atps calculo 3 4semestre

Etapa 4 - Passo 1
Usaremos a integral para calcular o volume de um tipo particular de região do espaço, chamada de sólidos de revolução.
Exemplo: Colocando o sistema de eixos de modo que o eixo y seja perpendicular à base da pirâmide reta, passando pelo centro, temos:

Para cada corte transversal na altura h-y, temos que a secção obtida é um quadrado, paralelo à base, cuja área é (2x)².
Examinando o longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever: e daí , ou seja a área de cada secção transversal é .

Logo, o volume da pirâmide é dado por:

Consideremos agora o sólido S obtido girando a região R em torno do eixo x, como na figura abaixo:

Sólidos que podem ser gerados dessa maneira, girando uma região em torno de um eixo, são chamados de sólidos de revolução. Veremos situações em que a região não precisa ser delimitada pelo gráco de uma função, e que o eixo não precisa ser o eixo x.

Volume por seções Transversais
Se um sólido R tem seção transversal dada por com , o volume do sólido é dado por:

Do mesmo modo, se um sólido R tem seção transversal dada por com o volume do sólido é dado por:

Sólidos de revolução: discos e cascas
Seja a região R abaixo do gráfico de , o volume obtido pela rotação de R em torno de OX é dado por:

Note que nesse caso, a seção transversal é dado por .
No caso de é rotação no eixo OY, tem-se:

Exemplo: determine o volume do sólido obtido pela revolução da região sob o gráfico de e limitada pela reta .

Exemplo: determine o volume do sólido obtido pela revolução da região limitada pelo gráfico de e pelas retas :

Revolução de região entre duas curvas
Considere a região R entre as curvas ) e limitada pelas retas .
Queremos determinar o volume obtido pela rotação dessa região em torno do eixo OX. Podemos fazer isso, calculando cada um dos volumes e realizando a subtração, donde obtemos:

Exemplo: considere e a região entre elas e a reta .Calcule o