Álgebra

Álgebra Linear
5ª Lista de Exercícios – Revisão para Provas
1 – (AFA 2003) Sejam m e n números reais tais que m ≠ n e as matrizes e . Qual a relação necessária entre m e n para que a matriz não seja inversível.

Solução. Multiplicando os escalares “m” e “n” pelas respectivas matrizes, temos:
i)
Para que a matriz C não seja inversível, seu determinante deve ser nulo. ii) . Desenvolvendo a expressão e simplificando, temos: . Resolvendo a equação em relação a “m”, vem.
. Como pelo enunciado m ≠ n, a matriz não será inversível se 7m + n = 0.

2 – Encontre o valor de x na matriz sabendo que det A-1 = .

Solução. Como conclui-se que . Logo, detA = - 10. Substituindo esse valor no cálculo do determinante de A, temos:

3 – Seja A-1 a inversa de . Determine A + A-1.
Solução. O determinante da matriz é diferente de zero. Logo, possui inversa.

4 – (UC – GO) Determine x a fim de que a matriz seja igual a sua inversa.
Solução. O produto da matriz A por ela mesma deverá resultar na matriz identidade.

.
Logo, o único valor que satisfaz é x = - 1.
5 – Sabendo que e , encontre o valor de:
a) 20 b) - 100 c) 40 d) - 60
Solução. Aplicando as propriedades dos determinantes, temos:
a) A 1ª linha foi multiplicada por 5. Logo o determinante também ficará multiplicado por 5.
b) Houve uma troca de coluna que mudará o sinal do determinante. As duas linhas foram multiplicadas por 5. Logo o determinante ficará multiplicado por 25.
c) Houve a troca da 2ª coluna com a 1ª coluna mudando o sinal do determinante. A 3ª coluna foi multiplicada por 4. Logo o determinante também o ficará.
d) A 2ª linha foi multiplicada por 2 e a 3º linha multiplicada por 3. Logo o determinante ficará multiplicado por (2).(3) = 6.

5 – Resolva os sistemas, classifique e indique o significado geométrico das soluções.

a) b)

Solução. Os sistemas