Álgebra

1º Resumo de Álgebra
Axiomas que todo anel (A, +, . ) deve satisfazer:
Sendo a,b,c є A e A é um conjunto não vazio, munido de duas operações binárias, + e .
A1 – A operação de adição é associativa:
(a+b)+c = a+(b+c)
A5 – A operação de multiplicação é associativa: (a.b).c = a.(b.c)
A2 – A operação de adição é comutativa: a+b = b+a
A6 – A operação de multiplicação é comutativa: a.b = b.a
A3 – A operação de adição tem um elemento neutro: existe um elemento 0 є A, tal que a+0 = 0+a = a.
A7 – A operação de multiplicação tem um elemento neutro: existe um elemento e є A, e≠0, tal que a.e = e.a = a
A4 – Todo elemento de A possui um simétrico: para todo a є A, existe um a’ є A, tal que a+a’ = a’+a =0.
A8 – As operações de multiplicação e adição satisfazem as leis distributivas: a.(b+c) = a.b+a.c e (b+c).a = b.a +c.a
Obs1: As operações + e . são fechadas em A, ou seja, Se a,b є A então a+b є A e a.b є A.
Obs2: Quando A6 não é satisfeito, trata-se de um anel não comutativo.
Obs3: Quando o A7 é verdadeiro, trata-se de um anel com unidade.
Obs4: Os elementos neutros (da adição; o simétrico; e o da multiplicação) são únicos e distintos.
Propriedades(P), proposições (Pp) e Definições (D) de Anéis
Considerando a,b є A, A é um anel
1. a.0=0.a=0
2. a.(-b) = (-a).b=-(a.b)
3. –(-a)=a
4.. (-a).(-b)=a.b
D1. Sejam A um anel e a є A, a≠0. Dizemos que a é um divisor de zero, se existe b є A, b≠0, tal que a.b=0. Ex.: Em Z6, 2.3 = 6 = 0
D2. Um anel A é chamado de um domínio de integridade se A não possui divisores de zero, ou seja, se a≠0 e b≠0 então a.b≠0.
Pp1. Seja A um domínio de integridade e a,b,c є A. Se a.b = a.c e a≠0, então b=c.
D3. Sejam a,b є A, A é um anel. Dizemos que a é um elemento invertível se existe um b tal que a.b=1. Como o inverso é único, a.a-1=a-1.a=1
Obs5. O zero não é invertível, pois, 0.a=0 para todo a є A.
0bs6. Os únicos elementos invertíveis do anel Z são 1 e -1.
Pp2. Um elemento a do anel Zn, das classes residuais módulo