interpolaça~p

INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
1) O problema da interpolação: considerando uma função y = f(x), definida na tabela: x y = f(x)
3,0
5,5
3,5
9,8
5,0
15,0
7,3
21,4
9,0
32,0
11,5 53,0

f(6) = ?  Problema de interpolação f(2) = ?  Problemas de extrapolação f(13) = ?

2) Definição geral de interpolação: considerando-se a função y = f(x) definida pelos pontos (x0, y0), (x1, y1),..., (xn, yn). Interpolar a função f(x) significa escrever uma função g(x) tal que: g(x0) = f(x0) g(x1) = f(x1)

g(xn) = f(xn)

= y0
= y1

= yn

3) Interpolação polinomial: g(x)  polinômio
Motivação: teorema de weirtrass:
“Qualquer função pode ser arbitrariamente aproximada por um polinômio”.
Resultado: Para n+1 pontos de uma função, o polinômio interpolador tem grau n. Desta forma está garantida a existência do polinômio e sua unicidade.
Ou seja: i 0
1
2

n

xi yi x0 x1 x2  xn = f(xi) y0 y1 y2  yn Pn (x)  a 0  a1x  a 2 x 2    a n 1x n 1  a n x n

Demonstração do resultado: Considerando-se uma “interpolação quadrática”. Isto é, serão considerados três pontos de uma função qualquer (a generalização é imediata):

xi yi = f(xi)

x0 y0 x1 y1 x2 y2 Então o polinômio interpolador para este conjunto de pontos tem grau 2:

P2 (x)  a 2 x 2  a1x  a 0
Este polinômio deve ser tal que:

P2 ( x 0 )  y0
P2 ( x1 )  y1

P2 ( x 2 )  y 2

(1)

Ou,
2
a 2 x 0  a 1x 0  a 0  y 0
2
a 2 x1  a1x1  a 0  y1

a 2 x  a 1x 2  a 0  y 2

(2)

2
2

O último sistema tem como matriz dos coeficientes das variáveis: 2
x 0
 2
M   x1
x 2
 2

x 0 1

x1 1 x 2 1


que é conhecida como matriz de Vandermonde. Seu determinante é dado por:

det(M)  (x 0  x1 )(x 0  x 2 )(x1  x 2 ) mas, como x0, x1 e x2 são pontos de uma função, eles são distintos entre si. Assim det(M) ≠ 0. Como o determinante da matriz dos coeficientes das variáveis do sistema (2) não é zero, isto significa