FUNDAMENTOS DE MECÂNICA DOS SOLOS

Cálculo Numérico
Módulo V

Resolução Numérica de
Sistemas Lineares – Parte I
Profs.: Bruno Correia da Nóbrega Queiroz
José Eustáquio Rangel de Queiroz
Marcelo Alves de Barros

Sistemas Lineares


Forma Geral

a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1

a21 x1 + a22 x 2 + ... + a2n x n = b2

⋮

⋮

⋱

⋮

⋮

an1 x1 + an2 x 2 + ... + ann x n = bn

onde: aij xi bi 

coeficientes



incógnitas



termos independentes
2

Sistemas Lineares


Exemplo 01
2 x1 + 4 x 2 − 5 x 3 = 5
4 x1 + 1x 2 − 5 x 3 = 2
2 x1 + 4 x 2 + 5 x 3 = − 1
2, 4, -5, 4, 1, -5, 2, 4 e 5  coeficientes x1, x2 e x3
 incógnitas
5, 2 e -1
 termos independentes
3

Sistemas Lineares


Forma Matricial

Ax = b na qual:

 a11 a12  a1n 


 a21 a22  a2 n 
A= 

⋮
⋱
⋮ 
 ⋮


 an1 an2 an 3 ann 



 b1 
b  b =  2
 ⋮
 bn 

 x1 
x  x =  2
 ⋮
 xn 
4

4

Sistemas Lineares


Exemplo 02

Forma Geral

2 x1 + 4 x 2 − 5 x 3 = 5
4x1 + 1x2 − 5x 3 = 2
2 x1 + 4 x 2 + 5 x 3 = − 1

Forma Matricial
 2 4 − 5   x1   5 
 4 1 − 5  . x 2  =  2 
 2 4 5   x   − 1

  3 

5

5

Sistemas Lineares


Classificação I

Impossível  Não possui solução


Exemplo 03

 x1 + x 2 = 3

 2 x1 + 2 x 2 = 9

6

6

Sistemas Lineares


Classificação II

Possível  Possui 1 ou mais soluções


Determinado  Solução única


Exemplo 04

 x1 + x 2 = 4
x − x = 8
2
 1

7

Sistemas Lineares


Classificação III

Possível  Possui 1 ou mais soluções


Indeterminado  Mais de uma solução


Exemplo 05

 x1 + x 2 = 4

 2 x1 + 2 x 2 = 8

8

Sistemas Lineares


Classificação IV

Possível  Possui 1 ou mais soluções


Homogêneo  Vetor b=0 (x=0 sempre existe solução)


Exemplo 06

 x1 + x 2 = 0

 2 x1 + 3 x 2 = 0

9

Sistemas Lineares


Sistemas Triangulares: