A vida nos ensina

20/09/2013

Tema 8: Conceito de derivadas, técnicas de derivação e suas aplicações.
Profa. Ivonete Melo de Carvalho

Variação Média
• Chamamos de taxa média de variação à razão m, tal que:

y y f  y i

x x f  x i ou, ainda

m

m

f f(x  x)  f( x)

x
x

Incremento
• Um “incremento” é um acréscimo (valor positivo) muito, muito pequeno, tendendo a zero.
• A partir do uso de um incremento é que se calcula a variação instantânea de uma função.

1

20/09/2013

Variação Instantânea
Chamamos de taxa de variação instantânea à razão m, tal que:

f h0 h

m  lim

f ( x  h)  f ( x ) h h0

m  lim

Derivada
Uma derivada mede a taxa de variação instantânea de uma função num determinado ponto.

Variação Instantânea
Inclinação da Reta Tangente
• O coeficiente m (obtido pela razão incremental) é definido como o coeficiente angular da reta tangente à curva em cada um de seus pontos.

f
x
f ( x  x )  f ( x ) m  lim
x
x 0 m  lim

x 0

2

20/09/2013

Obtenção da Reta Tangente
• Para obter a reta tangente, basta fazer:

y  y0  m * (x  x0 )

Função Derivada
A derivada de uma função é calculada pela aplicação do limite sobre a razão incremental:

y´ lim h0 f(x  h)  f(x) h Regras de Derivação
Para simplificar esse cálculo, aprenderemos algumas regras de derivação.
Se
Se
Se
Se
Se

f(x) f(x) f(x) f(x) f(x)

= k, então f’(x) = 0
= xn, então a derivada será f’(x) = n*xn – 1
= k * u(x), então f’(x) = k * u’(x)
= u(x) ± v(x), então f’(x) = u’(x) ± v’(x)
= au(x), então f’(x) = au(x) * ln(a) * u’(x)

3

20/09/2013

Mais Regras de Derivação
Se f(x) = eu(x), então f’(x) = eu(x) * u’(x)
Se f(x) = log u(x), então f ' ( x ) 

u' ( x ) u (x)

Se f(x) = u(x) * v(x), então f’(x) = u’(x) * v(x) + u(x) * v’(x)

Mais Regras

Se a função é do tipo

a derivada será:

f(x) 

f ' (x) 

u ( x) v ( x)

u' ( x ) * v( x )  u( x ) * v '