A nova era

Conjuntos Caóticos e Estabilidade Estrutural

Ênio Costa Resende
Faculdade de Engenharia Elétrica , FEELT- UFU
38408-100 , Uberlândia , MG
E-mail: [e-mail]
Hernán Roberto Montúfar López Universidade Federal de Uberlândia, Faculdade de Matemática
38408-100 , Uberlândia , MG
E-mail: [e-mail]

Resumo: No seguinte trabalho daremos dois exemplos de conjuntos que apresentam caos. O primeiro é o da família quadrática , que apresenta comportamento caótico para um dado fator µ≥ . E o segundo, a chamada ferradura de Smale, que é dinamicamente semelhante ao mapa quadrático, apresentando, no entanto duas dimensões topológicas. Posteriormente estudaremos um conceito bastante importante para aplicação de ferramentas matemáticas na modelagem de problemas físicos, econômicos ou biológicos, a estabilidade estrutural. 1.Introdução
A teoria dos sitemas dinâmicos possui vastas opções de aplicações em diversas áreas do conhecimento humano. De fato, modelos físicos, econômicos ou biológicos podem possuir comportamento semelhante às funções aqui estudadas. O conceito de estabilidade estrutural está veiculado a todas essas aplicações. De maneira intuitiva, funções estruturalmente estáveis não alteram sua dinâmica caso sejam levemente pertubados. Dentre as aplicações estudadas, encontram-se aplicações topologicamente caóticas das quais estudaremos a estrutura dinâmica.
1.1 Família Quadrática
Antes de fazermos uma análise gráfica do mapa da família quadrática, precisamos definir o Conjunto de Cantor denotado por . Definamos o conjunto I, tal que . Retiramos dele, agora, o subconjunto [,]. Temos agora, dois segmentos de reta, e . Dividamos novamente esses intervalos em três partes e retiramos a do meio. Iteradas sucessivas desse tipo nos dão o Conjunto de Cantor, que é o conjunto dos pontos que permanecem em .
Consideraremos aqui a família quadrática (1) dada por para µ. Definamos um quadrado unitário . Observemos