Vetores

26

2.2 Produto Vetorial
Para definirmos o produto vetorial entre dois vetores é indispensável distinguirmos o que são bases positivas e bases negativas. Para isso, consideremos uma r r r r v3 base do espaço {v1 , v 2 , v 3 } e um observador. Este observador deve estar com os pés em um plano que contém r r r v2 B representantes de v1 e v 2 (os dois
O
primeiros vetores da base), de modo que r r v1 v 3 (o terceiro vetor da base), esteja dirigido
A
para os seus olhos. Neste plano, sejam
→
→ r r
OA = v1 e OB = v 2 .
Consideremos agora, a rotação de menor ângulo em torno de O, que torna o r vetor v1 ( o primeiro vetor da base) r com mesmo sentido do vetor v 2 ( o segundo vetor da base). Se esta r rotação for no sentido contrário ao dos v3 ponteiros de um relógio, dizemos que a base é positiva. Caso contrário, r dizemos que a base é negativa. v2 B r r r
Assim, a base {v1 , v 2 , v 3 } , ilustrada
O
r ao lado, é positiva. v1 A r r r r r r
Observemos que as bases {v 2 , v1 , v 3 } e {v 3 , v 2 , v1} são negativas. r v3

r v3 r v2 r v1 r v2 r v1 27

Chamamos atenção especial do leitor para o fato de que nem sempre o observador está no mesmo semi-espaço que nós. Consequentemente, o sentido da rotação que ele verá é contrário ao que nós vemos. Para ilustrar este fato, desenhe em uma folha de papel dois vetores LI com a mesma origem e considere uma rotação que torna um deles com mesmo sentido do outro. A folha de papel pode ser considerada com um plano, assim, a folha de papel divide o espaço em dois semi-espaços. Observemos então que, em um desses semi-espaços vemos esta rotação com um sentido. Se mudarmos de semi-espaço vemos esta rotação com um sentido contrário ao anterior. r v2

A observação anterior é útil na identificação de bases positivas e negativas, quando o observador não está no mesmo semi-espaço que nós. Por exemplo, r r r ao analizarmos a base {v 2 , v1 ,− v 3 } vemos