Variáveis

Armando B. Mendes, UAc

Variáveis Aleatórias, Vetores e Distribuições

Distribuição Contínua vs. Discreta
(a) Função de probabilidade (b) Função Densidade de
Probabilidade

P(X)

f(X)

x

x

Valores possíveis de x

Valores possíveis de x
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Variáveis Aleatórias, Vetores e Distribuições

Armando B. Mendes, UAc

Modelo Normal ou Gaussiano
Uma v.a. tem distribuição Normal ou
Gaussiana com parâmetros μ e  > 0, representa-se por X ~N(μ, ), se tiver f.d.p.:
𝑓𝑋 𝑥 =

1
𝜎 2𝜋

características:
• valor médio μ • variância
𝜎2
• a f.d.p. é simétrica em torno da média:
27/11/2013

𝑒

1 𝑥−𝜇 2
−2 𝜎

modelo mais comum e com maior utilização

a variância pode ser igualmente considerada parâmetro da distribuição

𝑠𝑒 𝑋 ∈ ℝ os parâmetros coincidem com a média e desvio padrão (ou variância)

também válido para as probabilidades

f (   x)  f (   x), x  o
𝑃 𝑋 ≤ 𝜇 − 𝑎 = 𝑃(𝑋 ≥ 𝜇 + 𝑎)
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Armando B. Mendes, UAc

Modelo Normal ou Gaussiano
•
•
•

simétrica e unimodal: Moda = Mediana = µ forma de sino com inflexões em μ   caudas infinitas e assintótica no eixo dos x

34,13%

34,13%

0,13%

2,14%

13,60%

13,60%

μ-3σ μ-2σ

μ-σ

μ

μ+σ

2,14%

μ+2σ

0,13%

μ+3σ

68,26%
95,45%
99,73%
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Variáveis Aleatórias, Vetores e Distribuições

Armando B. Mendes, UAc

Modelo Normal ou Gaussiano
Probabilidade = 0,50
•
•

Probabilidade = 0,50

média dá posição da distribuição; desvio padrão dá a largura do sino.



x

X

Média =
=Mediana
= Moda

x x 27/11/2013

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Modelo Normal ou Gaussiano
f.d.p.: N(μ, 1)

f.d.p.: N(0, )

Média =
=Mediana
= Moda

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Variáveis Aleatórias, Vetores e Distribuições

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Normal Reduzida ou Padrão
A