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Teoria dos Numeros
Solucoes dos Exerc´cios do Cap´tulo 1
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ı ı 1. Encontrar, usando o algoritmo da divis˜ o de Euclides, o m´ ximo divisor comum dos seguintes pares a a de n´ meros: u (a) 542 e 234: 2
(b) 9652 e 252: 4
(c) 24573 e 1387: 1
(d) 4276 e 1234: 2
(e) 48762 e 176: 2
(f) 42516 e 97421: 1
(g) 8374 e 24517: 1
(h) 35262 e 12753: 1
2. Achar o m´nimo m´ ltiplo comum dos seguintes pares de n´ meros: ı u u (a) 44 e 32: 352
(b) 234 e 12: 468
(c) 35 e 24: 840
(d) 142 e 742: 52682
(e) 17 e 141: 2397
(f) 42 e 52: 1092
(g) 501 e 2141: 438905
(h) 144 e 64: 576
3. Encontrar uma sequˆ ncia de pelo menos 30 inteiros consecutivos e compostos. e ´
Solucao: Para ak = 31! + k + 1, temos que a1 = 31! + 2 e composto (coloque o 2 em evidˆ ncia),
¸˜
e
´
temos que a2 = 31! + 3 e composto (coloque aqui o 3), temos que a3 = 31! + 4 tamb´ m e composto, e´ e assim por diante, at´ o a30 = 31! + 31. Com isso, obtemos uma sequˆ ncia de 30 inteiros compostos e e consecutivos. 4. Mostrar, por inducao, que:
¸˜
(a)
12 + 22 + 32 + . . . + n2 =
Solucao: De fato, para n = 1, 12 = 1 =
¸˜

n(n + 1)(2n + 1)
6

1(1+1)(2·1+1)
6

=

1·2·3
.
6

Supondo v´ lida para um n = k, a analisemos o caso n = k + 1:
(k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1)
(k + 1)(k + 2)(2k + 3)
(k + 1)(2k2 + 7k + 6)
=
=
=
6
6
6
(k + 1)[6(k + 1) + k(2k + 1)]
6(k + 1)2 + k(k + 1)(2k + 1) k(k + 1)(2k + 1)
=
= (k +1)2 +
=
6
6
6
2
2
2
2
1
(k + 1) + k + . . . + 3 + 2 + 1
(b) 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2
Solucao: De fato, para n = 1, 1 = 12 . Supondo v´ lida para um n = k, analisemos o caso n = k + 1:
¸˜
a
(k + 1)2 = k2 + 2k + 1 = k2 + 2(k + 1) − 1 = (2(k + 1) − 1) + (2k − 1) + . . . + 5 + 3 + 1.
(c)
1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + . . . + n(n + i) =

n(n + 1)(n + 2)
3

2

Solucao: De fato, para n = 1, 1 · 2 = 2 =
¸˜

1(1+1)(1+2)
3

=

1·2·3
.
3

Supondo v´ lida para n = k, a analisemos o caso n = k + 1:
(k + 1)((k