trigonometria

Números trigonométricos de um número real t
A t radianos corresponde exatamente um ponto P sobre o círculo unitário
• À coordenada x de P é chamada de cosseno de t. Escrevemos cos(t).
• À coordenada y de P é chamada de seno de t. Escrevemos sin(t).
• Ao número sin(t) cos(t) chamamos a tangente de t. Escrevemos tan(t).
• Ao número cos(t) sin(t) chamamos a cotangente de t. Escrevemos cot(t).
• Ao número
1
cos(t) chamamos a secante de t. Escrevemos sec(t).
• Ao número
1
sin(t) chamamos a cossecante de t. Escrevemos csc(t). c KIT - Cálculo Diferencial e Integral 4
A reta dada pela equação sin(t).x − cos(t).y = 0 passa pela origem O e pelo ponto
P = (cos(t), sin(t)). Então a reta é a reta OP . Nesta reta tomamos o ponto de interseção
S = (1, a) com a reta vertical x = 1. É fácil resolver o sistema e obter que a = tan(t).
Assim, tan(t) é a y-coordenada do ponto S . Veja a figura 2.
Figura 2: A tangente
Analogamente, a interseção da reta horizontal y = 1 com a reta OP é o ponto S
′
=
(b, 1). Resolvendo, vemos que b é a x-coordenada do ponto. Assim, cot(t) é a x-coordenada do ponto S
′
.
3 Fórmulas Básicas
A t radianos corresponde exatamente um ponto P = (cos(t), sin(t)) sobre o círculo unitário. O quadrado da distância [OP ] é igual a 1. Calculando esta distância, usando as coordenadas de P , temos para cada t a seguinte igualdade cos 2
(t) + sin
2
(t) = 1.
Dividindo a igualdade acima por cos
2
(t), obtemos
1 + tan
2
(t) =
1
cos
2
(t)
= sec
2
(t).
Analogamente,
1 + cot
2
(t) =
1
sin
2
(t)
= csc
2
(t).
Resumindo, já obtivemos as seguintes relações: cos 2
(t) + sin
2
(t) = 1 (1)
1 + tan
2
(t) = sec
2
(t) (2)
1 + cot
2
(t) = csc
2
(t). (3) c KIT - Cálculo Diferencial e Integral 5
4 Valores relacionados
4.1 Valores suplementares
Dizemos que t e t
′
são valores suplementares se, e somente se, t + t
′
= π.
Com ajuda do círculo unitário vemos que os pontos imagens correspondentes são