Trigonometria E N Meros Complexos Lista 01 1

˜ INTERNACIONAL DA LUSOFONIA
UNIVERSIDADE DA INTEGRAC
¸ AO
AFRO-BRASILEIRA
ˆ
INSTITUTO DE CIENCIAS
EXATAS E DA NATUREZA

´
Primeira lista de Exerc´ıcios de Trigonometria e Numeros complexos. ´
Professor: Rafael Diogenes.
Aluno:
1. Mostre que:
1
, para 0◦ < θ < 90◦ .
1 + tg 2 θ tg 2 θ
(b) sen 2 θ =
, para 0◦ < θ < 90◦ .
1 + tg 2 θ
(c) sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a, para 0◦ < a + b < 90◦ .
(a) cos 2 θ =

(d) sen (a − b) = sen a · cos b − sen b · cos a, para 0◦ < a − b < 90◦ .
´
Para este dois ultimos itens, use as seguintes figuras

2. Fac¸a o que se pede.
(a) Sabendo que sen θ = 0, 6 e 0◦ < θ < 90◦ , calcule cos θ e tg θ.
(b) Sabendo que tg θ = 5 e 0◦ < θ < 90◦ , calcule cos θ e sen θ.
(c) Use a figura abaixo para provar que tg sen θ θ =
.
2
1 + cos θ

˜ trigonom´etricas de 15◦ .
(d) Calcule as func¸oes

(e) Fazendo tg 2θ = t, prove que sen θ =

2t
,
1 + t2

cos θ =

1 − t2
,
1 + t2

tg θ =

2t
.
1 − t2

(f) Sabendo que sen θ · cos θ = 0, 4 e 0◦ < θ < 90◦ , calcule tg θ.
(g) Sabendo que sen θ · tg θ = 0, 45 e 0◦ < θ < 90◦ , calcule cos θ.
(h) Calcule o seno e o cosseno de 36◦ .
(i) Determine o maior valor de sen θ + cos θ.
3. Um ponto A dista 5cm do centro de um c´ırculo de 3cm de raio. S˜ao trac¸adas as tangentes AB e AC do c´ırculo. Calcule o seno do aˆ ngulo B AC.
4. Fac¸a o que se pede.
(a) Os lados de um triˆangulo retˆangulo est˜ao em progress˜ao aritm´etica. Qual e´ o cosseno do maior aˆ ngulo agudo?
(b) Os lados de um triˆangulo retˆangulo est˜ao em progress˜ao geom´etrica. Qual e´ o cosseno do maior aˆ ngulo agudo?
(c) Um triˆangulo retˆangulo tem hipotenusa 1 e per´ımetro menor de seus aˆ ngulos?

√
6+2
.
2

Qual e´ a medida do

5. O topo B de uma torre vertical AB e´ visto de um ponto C do solo sob um aˆ ngulo de
30◦ . A distˆancia C a` base da torre e´ 100m. Calcular a altura da torre.
6. Para medir a largura de um rio de margens paralelas sem atravess´a-la, um observador no ponto A visa um ponto fixo B na margem oposta (suponha que AB e´