Trabalho

S´ries – 5. S´ries Alternadas, Convergˆncia Absoluta e e e e Condicional
Luiza Amalia Pinto Cant˜o a
Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista – UNESP [e-mail]

S´ries Alternadas e
Ilustra¸˜o: Os termos s˜o alternativamente positivos e negativos: ca a 1 1 1 1 1 1 − + − + − + ··· = 2 3 4 5 6 1 2 3 5 6 − + − − + + ··· = 2 3 4 6 7
∞

n=1 ∞

(−1)n−1 n (−1) n n+1

n=1

Forma: O n-´simo termo de uma s´rie alternada ´: e e e an = (−1)n−1un ou an = (−1)nun

sendo un um n´mero positivo (un = |an|). u

S´ries Aternadas: Teorema e Teorema: Se a s´rie alternada e
∞

(−1) n=1 n−1

un = u1 − u2 + u3 − u4 + · · ·

(un > 0)

satisfazer 1. un+1 ≤ un para todo n 2. lim un = 0 n→∞ ent˜o a s´rie ´ convergente. a e e Figura: u1 −u2 u3 −u4 u5 −u6 0 s2 s4 s6 s s5 s3 s1

S´rie Alternada: Exemplos e
Exemplo: Verifique se as s´ries abaixo s˜o convergentes ou divergentes: e a 1 1 1 1. S´rie harmˆnica: 1 − + − + · · · = e o 2 3 4
∞ ∞

n=1

(−1) n

n−1

2. n=1 ∞

(−1) 3n 4n − 1 (−1) n+1 n

3. n=1 n2 n3 + 1

S´reis Alternadas: Estimando Somas e
Teorema: Se s = (−1) n−1 un for a soma de uma s´rie alternada que satisfaz e

1. 0 ≤ un+1 ≤ un e 2. lim un = 0 n→∞ ent˜o |Rn| = |s − sn| ≤ un+1 a Prova: Como s est´ entre duas somas parciais quaisquer sn e sn+1, segue que: a |s − sn| ≤ |sn+1 − sn| = un+1 Exemplo (4): Encontre a soma da s´rie abaixo com precis˜o de trˆs casas e a e decimais (pela defini¸˜o 0! = 1): ca
∞

n=0

(−1) n!

n

Convergˆncia Absoluta e
Defini¸˜o: Uma s´rie ca e an ´ chamada absolutamente convergente se a e s´rie de valores absolutos |an| for convergente. e Aten¸˜o: Se ca an for uma s´rie de termos positivos, ent˜o |an| = an e assim e a a convergˆncia absoluta ´ a mesma coisa que a convergˆncia nesse caso. e e e Exemplo (5): Verifique se a s´rie abaixo ´ absolutamente convergente. Justie e fique. ∞ n−1 (−1) n2 n=1

Convergˆncia Condicional e
Defini¸˜o: Uma