trabalho

Conceito e/ou Definição Polinômio de Taylor e de Maclaurin

Fórmula de Taylor ou Polinômio de Taylor é uma expressão que permite o cálculo do valor de uma função por aproximação local através de uma função polinomial. Supondo f uma função derivável num intervalo contendo um ponto temos:

Esta é uma função que descreve a equação de uma reta (devido ao expoente relativo à variável ). Esta reta possuí o coeficiente angular , logo, o gráfico de é uma reta tangente ao gráfico de f no ponto . É importante ressaltar que este conceito está diretamente ligado à ideia de diferencial.

Em matemática, uma série de Taylor é uma série de funções da seguinte forma:

Dito de outra maneira, uma série de Taylor é uma expansão de uma função analítica na vizinhança de um ponto . Uma série de Taylor de uma dimensão é uma expansão de uma função real ao redor do ponto em que x assume um valor qualquer (digamos, "a"). Neste caso, escrevemos a série da seguinte maneira:1 23 4 5 6 7 8

A constante é o centro da série que pode ser encarada como uma função real ou complexa. Se a = 0, a série também é chamada de Série de Maclaurin (de Colin Maclaurin).
Estas séries devem o seu nome a Brook Taylor que as estudou no trabalho Methodus incrementorum directa et inversa em 1715. Condorcet atribuía estas séries a Taylor e d'Alembert e o nome série de Taylor só começou a ser usado em 1786.

Desenvolvimento

Maclaurin

As séries de Maclaurin são um caso particular das séries de Taylor. E estas, por sua vez, têm o seu nome dado por conta de Brook Taylor, que as estudou em 1715.
As séries de Taylor são compostas por uma somatória infinita de polinômios com coeficientes definidos pelas derivadas em um ponto a de uma f(x) infinitamente derivável.
As séries de Maclaurin, como dito anteriormente, é um caso particular das séries de Taylor. As séries de Taylor podem ser chamadas de séries de Maclaurin quando a somatória é feita no ponto a=0. Portanto temos:
Estas séries