trabalho

Espaços Vetoriais
Def.: Seja um conjunto V, V diferente 0, sobre o qual estão definidas duas operações ADIÇÃO e MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR (NÚMERO REAL) , isto é,
V u, v E V, u+v E V
V [lambida] E R , V u E V, [lambida]u E V
V com essas duas operações é chamado ESPAÇO VETORIAL REAL (ou sobre R) se forem satisfeitas as seguintes propriedades:
A) Em relação a ADIÇÃO: a1) u+v = v+u, V u,v E V.(comutativa) a2) (u+v)+w = u+(v+w), V u, v, w E V. (associativa) a3) 0 E V; u+0=u, V u E V. (0 é o elemento neutro) a4) V u E V, (-u)E V: u+(-u)=0 (-u é o elemento oposto de u)

M) Em relação a MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR: V a, h E R, V u, v E V: m1) (ah). u= a.(hu) m2) a(u+v)=au+av m3)(a+h)u=au+hu m4)1.u=u (neutro)

Obs.: Os elementos de um espaço vetorial V serão chamados de Vetores, independentemente da natureza de V.

Exemplo1:

V = R (conjunto dos números reais) é um ESPAÇO VETORIAL REAL com as operações de ADIÇÃO e MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR usuais.
De fato:
1) A Adição de números reais é real, e a operação de ADIÇÃO satisfaz as props A1,A2,A3 e A4
2) O Produto de números reais é real e a operação MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR satisfaz as props M1,M2,M3 E M4
Aqui os vetores são números reais.

________________________ (X) _________________________IR (reta real)

Exemplo 2:

V = R2 = {(x,y):x, y E R} é um ESPAÇO VETORIAL REAL com as operações de ADIÇÃO e MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR assim definidas.
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+y1,y2+x2)
a.(x,y) = (ax,ay), V a E R.
R2 satisfaz as props A1,A2,A3 e A4, M1,M2,M3 e M4 da definição de Espaço Vetorial, os vetores aqui são pares ordenados de reais.

Exemplo 3

V = IR3 = {(x,y,z): x,y,z E R} é um ESPAÇO VETORIAL sobre IR com as operações ADIÇÃO e MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR assim definidas:
1) (x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)=(x1x2,y1y2,z1z2)
2) a.(x,y,z) = (ax,ay,az)
V a E IR.
R3 satisfaz as props A1,A2,A3 e A4,