Trabalho calculo 3

Derivadas parciais
1) Calcular as derivadas parciais de primeira ordem 𝑓𝑥 e 𝑓𝑦 das funções abaixo:
a)

b)
𝑓(𝑥, 𝑦) =

√𝑥 2

𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 4 𝑦 3 − 𝑥𝑦 2 + 3𝑦 + 1

+ 𝑦2

c)

d)
𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 3 − 𝑦 2 )2

e)

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥 ln⁡(𝑥𝑦)

g)

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒 𝑦 + 𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥)

f)
𝑓(𝑥, 𝑦) =
h)

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 2 ) + cos(𝑦 2 )

𝑓(𝑥, 𝑦) =

√𝑥 + 𝑦
𝑥2 + 𝑦2

𝑥
√𝑥 + 𝑦 2

2) A companhia ACME produz três tipos de roller skates. O custo em reais para se produzir x unidades do tipo I, y unidade do tipo II e z unidades do tipo III é dado pela equação:
𝑐(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 500 + 27𝑥 + 36𝑦 + 47𝑧
Em um determinado dia, a fábrica está produzindo 200 unidades do tipo I, 150 unidades do tipo II e 80 unidade do tipo III, ou seja, (200,15,80).
a) O gerente da fabrica quer saber de quanto o custo irá variar se ele aumentar a quantidade de produção do skate tipo I mantendo a quantidade de produção dos skates tipo II e III constantes.
b) E se ele desejar aumentar a produção do skate do tipo III mantendo a quantidade de produção dos skates tipo I e II constantes, de quanto o custo irá variar?
c) E se aumentar a produção do skate do tipo II mantendo a quantidade de produção dos skates tipo I e III constantes, como será a variação do custo?

3) A análise de certos circuitos eletrônicos envolve a fórmula:

𝐼=

𝑉
√𝑅 2 + 𝐿2 𝑤

Em que I é a corrente dada por Ampéres (A), V é a tensão em Volts (V), R é a resistência em ohms (Ω), L é a indutância em Henry (H) e w é uma constante positiva.
Calcule e interprete 𝜕𝐼/𝜕𝑅 e 𝜕𝐼/𝜕𝐿.
4) Considere uma chapa que é aquecida a partir do centro. A temperatura sobre esta chapa é dada pela equação:
𝑇(𝑥, 𝑦) = 100 − 2𝑥 2 − 𝑦 2
Sendo 𝑥 e 𝑦 dados em 𝑐𝑚 e 𝑇 em °𝐶.
a) Qual o domínio desta função?
b) Encontre a equação da curva isotérmica com temperatura igual a 60°𝐶 e represente no plano 𝑥𝑦;
c) Uma formiga que se encontra sobre o ponto (1,2) desta chapa deseja caminhar na direção positiva do eixo 𝑥. De