Teoremas

Exercícios Aula de Teorema de Pitágoras

1. Sejam ∏ um plano e A um ponto fora dele. Se P é o ponto de ∏ mais próximo de A, prove que, para todo ponto Q em ∏ , diferente de P, os segmentos AP e PQ são perpendiculares.

2. Prove que a interseção de um plano com uma esfera só pode ser a) vazia b) um ponto c) uma circunferência

Soluções Teorema de Pitágoras

1. Supondo, por absurdo, que AP e PQ não fossem perpendiculares, seja P0 o pé da perpendicular baixada de A sobre a reta PQ no plano APQ. Então, pelo Teorema de Pitágoras, teríamos [pic]2 = [pic] +[pic], logo a distância de A ao ponto P0 do plano ∏ seria menor do que [pic].

2. Supondo que o plano ∏ tem com a esfera S de centro A e raio r, mais de um ponto em comum (ou seja, que não ocorre a) nem b)), seja P o ponto do plano ∏ mais próximo de A. Para todo ponto X[pic]∏[pic]S temos [pic]= r e AP[pic]PX logo [pic]2 + [pic]2 = [pic]2 ou seja [pic]2 = r2 - [pic]2 . Portanto [pic] é constante quando X varia em ∏[pic]S . Assim, ∏[pic]S é uma circunferência.

Solução do exercício 2 de trigonometria.

2) Pela lei dos cossenos no triângulo PCQ encontramos [pic].
Sendo [pic] e [pic] . Como [pic] não é o maior ângulo do triângulo então [pic]. Então, pela lei dos senos,

[pic]

Calculamos [pic]. Assim [pic] e, consequentemente, [pic].

As soluções do exercícios retirados de provas da OBMEP se encontram em: