Teorema de Bertrand

Teorema de Bertrand
Suzielli Mendonça – 63002
Mecânica Analítica
Maio de 2014

Introdução

O que é e para que serve o Teorema de Bertrand?
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Joseph Louis François Bertrand provou que existem apenas dois campos de forças centrais que dão origem a órbitas fechadas. São eles a lei newtoniana da gravitação universal e a lei de Hooke. Esta formulação foi denominada Teorema de Bertrand.

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Leis de atração que admitem órbitas fechadas e limitadas para condições iniciais arbitrariamente escolhidas.

Aplicações
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Problema de Kepler;

(descreve o movimento de dois corpos que se atraem mutuamente)
Curvas de Bertrand;

Ilustração de duas partículas em um campo de força central

Provando o Teorema de Bertrand
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(Lagrangeana do sistema)

(massa reduzida)

Ilustração

Ilustração

Provando o Teorema de Bertrand
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Provando o Teorema de Bertrand


 Ficamos então com:

 Definindo as variáveis e

Assumindo que a massa 1 seja muito maior que a massa 2

Provando o Teorema de Bertrand


 E a Lagrangeana fica:

Provando o Teorema de Bertrand
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Problema de força central e a equação da órbita

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A equação de Euler-Lagrange para a equação da lâmina anterior fica:

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Então:

Provando o Teorema de Bertrand


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(equação de movimento)

Provando o Teorema de Bertrand


Assumindo:

 A equação de movimento fica:
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Provando o Teorema de Bertrand
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Para escrever a equação da lâmina anterior como uma equação

de órbita, tem-se que:



Provando o Teorema de Bertrand
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Para nos livrarmos do da equação de movimento, podemos assumir que: Provando o Teorema de Bertrand
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Temos então:

Provando o Teorema de Bertrand
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Substituindo

movimento:
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a expressão para na equação de

Provando o Teorema de Bertrand


Como estamos trabalhando com órbitas fechadas, denotamos:

 Então:

Provando o Teorema de Bertrand
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 Tomando a derivada de segunda ordem:

Provando o Teorema de Bertrand


  - -

Provando o Teorema de Bertrand
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