Tecmecanico

Minist´rio da Educa¸ao e c˜
Universidade Tecnol´gica Federal do Paran´ o a
Campus Campo Mour˜o a Wellington Jos´ Corrˆa e e

Nome:
Sum´rio dos Testes de Convergˆncia ou Divergˆncia para uma S´rie Infinita a e e e
+∞

1. Teste da Divergˆncia: Se lim un = 0, ent˜o a s´rie infinita e a e n→+∞

un ´ divergente. e n=1

e e 2. A S´rie Geom´trica converge para a soma

a se |r| < 1 e a s´rie geom´trica diverge se e e
1−r

|r| ≥ 1.
+∞

3. A S´rie Hiper-harmˆnica e o n=1 1 diverge se p ≤ 1 e converge se p > 1. np +∞

4. A S´rie Telesc´pica e o

(un − un+1 ) converge se lim un+1 existe. n→+∞ n=1

5. Teste da Integral: Seja f uma fun¸˜o cont´ ca ınua, decrescente e com valores positivos para todo x ≥ 1. Ent˜o, a s´rie infinita a e
+∞

f (n) = f (1) + f (2) + f (3) + . . . + f (n) + . . . n=1 +∞

ser´ convergente se a integral impr´pria a o b lim

b→+∞

f (x) dx existir e ser´ divergente se a 1

f (x) dx = +∞ .
1
+∞

6. Teste da Compara¸˜o: Seja ca vn uma s´rie de termos positivos. e n=1

+∞

(i) Se

vn for uma s´rie de termos positivos que sabemos ser convergentes e se un ≤ vn e n=1

para todo n inteiro positivo, ent˜o a +∞

un ser´ convergente. a n=1 1

+∞

(ii) Se

wn for uma s´rie de termos positivos que sabemos ser divergentes e se un ≥ wn e n=1

+∞

para todo n inteiro positivo, ent˜o a s´rie a e

un ser´ divergente. a n=1

+∞

+∞

7. Teste de Compara¸˜o por Limite: Sejam ca un e n=1 (i)

lim

n→+∞

vn duas s´ries de termos positivos. e n=1

uv
= c > 0, ent˜o, ambas as s´ries covergem, ou ambas divergem. a e vn uv
= 0 e se
(ii) lim n→+∞ vn

+∞

+∞

vn converge, ent˜o a n=1

uv
= +∞ e se n→+∞ vn

un converge. n=1 +∞

(iii) Se lim

+∞

vn diverge, ent˜o a n=1

un diverge. n=1 +∞

(−1)n+1 an

8. Teste de S´ries Alternadas ou Teste de Leibniz: Considere a s´rie alternada
e